[论文解读] A survey of the Schr\\"odinger problem and some of its connections with optimal transport

C. Léonard|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 49被引用 348

一句话总结

本文全面综述了薛定谔问题（Schrödinger problem），这是一个在边缘约束下最小化相对熵的随机最优传输问题。通过证明动态薛定谔问题等价于涉及布朗桥的静态问题，该研究建立了薛定谔问题与最优传输之间的深刻联系，并表明其解通过最小作用量原理与二次Monge-Kantorovich传输问题相联系。

ABSTRACT

This article is aimed at presenting the Schr\\"odinger problem and some of its connections with optimal transport. We hope that it can be used as a basic user's guide to Schr\\"odinger problem. We also give a survey of the related literature. In addition, some new results are proved.

研究动机与目标

• 将薛定谔问题呈现为在边缘约束下最小化相对熵的随机最优传输问题。
• 通过测度的分解阐明动态薛定谔问题与静态薛定谔问题之间的关系。
• 建立薛定谔问题与具有二次代价的古典Monge-Kantorovich最优传输问题之间的联系。
• 针对无界测度，提供相对熵的严格处理，这对于在路径空间上定义薛定谔问题至关重要。
• 为进入随机最优传输与大偏差领域研究的学者提供用户指南和文献综述。

提出的方法

• 将动态薛定谔问题表述为在路径空间 $ \Omega $ 上的概率测度 $ P $ 上最小化相对熵 $ H(P|R) $，并施加固定的初始与最终边缘测度 $ \mu_0, \mu_1 $。
• 使用分解公式 $ \widehat{P} = \int R^{xy} \widehat{\pi}(dxdy) $，其中 $ R^{xy} $ 为布朗桥测度，而 $ \widehat{\pi} $ 解决了 $ \mathcal{X} \times \mathcal{X} $ 上的静态薛定谔问题。
• 证明静态薛定谔问题 $ H(\pi|R_{01}) \to \min $，满足 $ \pi_0 = \mu_0, \pi_1 = \mu_1 $，等价于动态问题，其中 $ R_{01}(dxdy) \propto \exp(-d(x,y)^2/2) \, \textrm{vol}(dx)\textrm{vol}(dy) $。
• 通过动态代价 $ C(\omega) = \int_0^1 |\dot{\omega}_t|^2/2 \, dt $ 建立薛定谔问题与二次Monge-Kantorovich最优传输问题之间的等价性。
• 通过引入权函数 $ W $，严格定义相对于无界测度的相对熵，确保当 $ \int W \, dp < \infty $ 时 $ H(p|r) $ 有定义。
• 应用变分恒等式 $ H(p|r) = \sup \left\{ \int u \, dp - \log \int e^u \, dr \right\} $，以累积生成函数的形式表征相对熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 薛定谔问题与最优传输有何关系？两者之间的精确数学联系是什么？
• RQ2 布朗桥在动态薛定谔问题解的测度分解中起什么作用？
• RQ3 如何严格定义相对于无界参考测度（如非紧流形上布朗运动的分布）的相对熵？
• RQ4 在何种意义上，薛定谔问题可视为Monge-Kantorovich问题的随机正则化？
• RQ5 动态薛定谔问题与静态问题之间的等价性对大偏差和统计物理有何影响？

主要发现

• 动态薛定谔问题的解 $ \widehat{P} $ 可分解为布朗桥 $ R^{xy} $ 的混合，其混合测度 $ \widehat{\pi} $ 解决了 $ \mathcal{X} \times \mathcal{X} $ 上的静态薛定谔问题。
• 动态与静态薛定谔问题的值相等：$ \inf \eqref{sdyn} = \inf \eqref{s} $，确立了它们的等价性。
• 静态薛定谔问题等价于具有代价 $ c(x,y) = d(x,y)^2/2 $ 的二次Monge-Kantorovich最优传输问题，从而将其与经典最优传输联系起来。
• 动态代价 $ C(\omega) = \int_0^1 |\dot{\omega}_t|^2/2 \, dt $ 在从 $ x $ 到 $ y $ 的常速测地线上取得最小值，且 (MK dyn) 的解对应于确定性路径 $ \gamma^{xy} $。
• 当 $ \int W \, dp < \infty $ 时，相对熵 $ H(p|r) $ 通过满足 $ \int e^{-W} \, dr < \infty $ 的权函数 $ W $ 有定义，确保在不同 $ W $ 选择下的一致性。
• 对于满足 $ \sup |u|/W < \infty $ 的可测函数 $ u $，变分公式 $ H(p|r) = \sup \left\{ \int u \, dp - \log \int e^u \, dr \right\} $ 成立，并将 $ H(\cdot|r) $ 表征为一个凸的、下确连续函数。