[论文解读] Geometric Invariants of Recursive Group Orbit Stratification

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在特征 0 的代数闭域上，为递归群轨道分层引入了 $c_{sm}$ 不变量，提供了轨道分层局部欧拉障碍和截面欧拉特征的显式代数公式。该方法通过射影化轨道的陈类系统计算这些几何不变量，适用于普通、对称及反对称秩局部化的情形。

ABSTRACT

The local Euler obstructions and the Euler characteristics of linear sections with all hyperplanes on a stratified projective variety are key geometric invariants in the study of singularity theory. Despite their importance, in general it is very hard to compute them. In this paper we consider a special type of singularity: the recursive group orbits. They are the group orbits of a sequence of $G_n$ representations $V_n$ satisfying certain assumptions. We introduce a new intrinsic invariant called the $c_{sm}$ invariant, and use it to give explicit formulas to the local Euler obstructions and the sectional Euler characteristics of such orbits. In particular, the matrix rank loci are examples of recursive group orbits. Thus as applications, we explicitly compute these geometry invariants for ordinary, skew-symmetric and symmetric rank loci. Our method is systematic and algebraic, thus works for algebraically closed field of characteristic $0$. Moreover, in the complex setting we also compute the stalk Euler characteristics of the Intersection Cohomology Sheaf complexes for all three types of rank loci.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的代数方法，用于计算奇异射影代数簇上的局部欧拉障碍与截面欧拉特征。
• 解决长期存在的在奇异空间上计算几何不变量（如局部欧拉障碍与截面欧拉特征）的困难。
• 将现有公式扩展至递归群轨道分层（包括矩阵秩局部化），并利用内在不变量。
• 计算复数情形下秩局部化中交上同调层复形的 stalk 欧拉特征。
• 通过施伯雷曼几何学建立在任意特征 0 域上成立的二项式恒等式，并具有枚举意义。

提出的方法

• 将 $c_{sm}$ 不变量引入为递归群轨道分层中由群轨道射影化陈类导出的内在不变量。
• 使用公式 $\mathrm{Eu}_{\bar{\mathcal{O}}_{n,k}}(\mathcal{O}_{n,r}) = \sum_{(\mu_1 > \cdots > \mu_l \geq k)} \mathrm{Sm}_{n\mu_1} \cdots \mathrm{Sm}_{\mu_l k}$，通过旗分解计算局部欧拉障碍。
• 应用施伯雷曼几何学计算参数化一般超曲面中线性子空间的格拉斯曼簇的欧拉特征。
• 利用拓扑不变量，将纤维空间的欧拉特征与射影空间中二次超曲面的差值联系起来。
• 使用陈类公式 $c_{\mathrm{sm}}^{Z^{X}_{d,n}} = \frac{c(S^\vee \otimes Q) \cdot c_{\binom{d+2}{2}}(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}{c(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}$ 计算截面零点上的不变量。
• 利用施伯雷曼几何学中的消去定理，证明当 $2d \geq n$ 时，某些积分因向量丛的秩条件而消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种系统化的代数方法，用于计算递归群轨道分层的局部欧拉障碍？
• RQ2 在简化局部欧拉障碍与截面欧拉特征等几何不变量的计算中，$c_{sm}$ 不变量起什么作用？
• RQ3 在复数情形下，秩局部化中交上同调层复形的 stalk 欧拉特征如何表现？
• RQ4 从对称与反对称情形下的施伯雷曼积分推导出的二项式恒等式背后，有哪些枚举不变量？
• RQ5 某些施伯雷曼积分的消去能否通过几何或表示论对称性来解释？

主要发现

• 递归群轨道分层的局部欧拉障碍由 $c_{sm}$ 不变量的旗和给出：$\mathrm{Eu}_{\bar{\mathcal{O}}_{n,k}}(\mathcal{O}_{n,r}) = \sum_{\mu_1 > \cdots > \mu_l \geq k} \mathrm{Sm}_{n\mu_1} \cdots \mathrm{Sm}_{\mu_l k}$。
• 在 $\mathbb{P}^{3r+1}$ 中的一般二次超曲面内，所含的 $2r$-平面数量恰好为 $2^{d+1} \binom{A}{A-d-1}$，其中 $A = 2\lfloor (n+1)/2 \rfloor$。
• 通过 $\mathbb{P}^{n-2d}$ 与 $\mathbb{P}^{n-2d-1}$ 中一般二次超曲面的欧拉特征之差，计算秩局部化的一般线性截面的截面欧拉特征。
• 公式 $\int_{G(d+1,n+1)} \frac{c(S^\vee \otimes Q) \cdot c_{\binom{d+2}{2}}(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}{c(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))} = 2^{d+1} \binom{m}{m-d-1}$ 对 $n = 2m$ 或 $n = 2m+1$ 成立，且在任意特征 0 域上有效。
• 当 $2d \geq n$ 时，由于施伯雷曼几何学中 $\Delta_{[d+1]}(c(S^\vee))$ 的消去，且 $\mathrm{rk} Q < d+1$，该陈类表达式的积分为零。
• 所导出的二项式恒等式为纯代数形式，在任意代数闭特征 0 域上普遍成立，尽管其具有枚举外观。