[论文解读] Local Euler Obstruction and Chern-Mather classes of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

该论文利用格拉斯曼流形上的交点理论，在任意代数闭域上计算了行列式簇 $\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍与陈-马瑟类。通过通用丛的陈类推导出显式公式，并利用 Macaulay2 示例验证，证明了交上同调层特征循环的不可约性，将先前复几何的结果推广至任意域。

ABSTRACT

For $m\geq n$, Let $K$ be an algebraic closed base field, and define $τ_{m,n,k}$ to be the set of $m imes n$ matrices over $K$ with kernel dimension $\geq k$. This is a projective subvariety of $\mathbb{P}^{mn-1}$, and is usually called determinantal variety. In most cases $τ_{m,n,k}$ is singular with singular locus $τ_{m,n,k+1}$. In this paper we compute the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$, and we prove that the characteristic cycle of the intersection cohomology complex of $τ_{m,n,k}$ is irreducible. We also give an explicit formula for the Chern-Mather class of $τ_{m,n,k}$ as a class in projective space. The irreducibility of the intersection cohomology characteristic cycle follows from the explicit computation of the local Euler obstruction, a study of the `Tjurina transforms' of determinantal varieties, and the Kashiwara-Dubson's microlocal index theorem. Our explicit formulas are based on calculations of degrees of certain Chern classes of the universal bundles over the Grassmannian. We use The Schubert 2 package in Macaulay2 to exhibit examples of the Chern-Mather class and the class of the characteristic cycle of $τ_{m,n,k}$ for some small values of $m,n,k$. Over the complex numbers, the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$ was recently computed by N.~Grulha, T.~Gaffney and M.~Ruas by methods in complex geometry.

研究动机与目标

• 在任意代数闭域上计算行列式簇 $\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍，推广先前复几何的结果。
• 在射影空间中为 $\tau_{m,n,k}$ 的陈-马瑟类推导出显式公式。
• 利用微局部技术与 Kashiwara-Dubson 指标定理，证明 $\tau_{m,n,k}$ 上交上同调复形的特征循环是不可约的。
• 建立局部欧拉阻碍的递推公式，表明其满足帕斯卡三角形关系，通过二项式系数体现。
• 利用 Macaulay2 对小的 $m,n,k$ 进行计算验证，展示陈-马瑟类与射影法丛循环。

提出的方法

• 在格拉斯曼流形的积 $G(k,k+i) \times G(i,m-n+k+i)$ 上使用交点理论计算，将局部欧拉阻碍表示为通用丛的逆陈类的积分。
• 应用 Kashiwara-Dubson 微局部指标定理，将局部欧拉阻碍与 IC 层的特征循环联系起来。
• 采用行列式簇的 Tjurina 变换以分析奇点集与分层行为。
• 通过格拉斯曼流形上通用子丛与商丛的陈类的次数计算，推导出陈-马瑟类。
• 利用涉及 $h_1, h_2$ 与系数 $\beta_l$ 的公式，将法丛循环转化为 $\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{P}^{N}$ 中的类。
• 使用 Macaulay2 与 Schubert2 包，对小的 $m,n,k$ 计算并展示陈-马瑟类与射影法丛循环的显式示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意代数闭域上，行列式簇 $\tau_{m,n,k}$ 在秩为 $k+i$ 的点处的局部欧拉阻碍是什么？
• RQ2 如何显式计算 $\tau_{m,n,k}$ 在 $\mathbb{P}^{mn-1}$ 中的陈-马瑟类？
• RQ3 $\tau_{m,n,k}$ 上交上同调层的特征循环是否不可约？其几何结构如何？
• RQ4 $\tau_{m,n,k}$ 的局部欧拉阻碍是否满足类似于帕斯卡三角形的递推公式？若成立，该公式在哪些域上成立？
• RQ5 能否从陈-马瑟类重构 $\tau_{m,n,k}$ 的法丛循环？极类与此重构有何关系？

主要发现

• 在任意代数闭域上，$\tau_{m,n,k}$ 在任意点 $\varphi \in \tau_{m,n,k+i} \setminus \tau_{m,n,k+i+1}$ 处的局部欧拉阻碍为 $\binom{k+i}{i}$。
• 递推公式 $Eu_{m,n,k} + Eu_{m,n,k+1} = Eu_{m+1,n+1,k+1}$ 对 $k = 0,1,\dots,n-2$ 成立，将复数情形的结果推广至任意域。
• $\tau_{m,n,k}$ 上交上同调层的特征循环是不可约的，且等于 $\tau_{m,n,k}$ 的法丛循环，该结论通过微局部指标理论证明。
• $\tau_{m,n,k}$ 的陈-马瑟类被显式计算为 $\sum_{l=0}^{N} \beta_l [\mathbb{P}^l]$ 的形式，其中使用了格拉斯曼流形上通用丛的陈类。
• 通过涉及 $h_1, h_2$ 与系数 $\beta_l$ 的公式，实现了射影法丛循环的重构，对 $\tau_{4,4,s}$ 与 $\tau_{5,4,s}$ 的显式示例在 Macaulay2 中计算得出。
• $\tau_{m,n,k}$ 的 $l$-阶极类可表示为陈-马瑟分量的线性组合，其中涉及二项式系数与余维数平移。