[论文解读] Geometric Proofs of Some Results of Morita

Richard Hain, David Reed|ArXiv.org|Oct 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 24

一句话总结

本文提供了Morita关于曲线模空间上三个上同调结果的几何证明，聚焦于$σ_g$、$σ_g[2]$和$σ_g[l]$的第二上同调中特征类之间的关系。研究证明了映射类群在曲面同调上的系数下的第二上同调群同构于$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$，并通过全纯线丛的相对Picard群实现这一同构，并证明该类在且仅在度数被$2g-2$整除时为零。这些结果通过谱序列、上同调系数定理以及Francetta猜想的解得出。

ABSTRACT

In this note we give geometric formulations and proofs of three results of S. Morita. These results relate certain two dimensional cohomology classes of various moduli spaces of curves. We also give a geometric interpretation of a fourth result of Morita. One motivation of this work is to facilitate the application of these results in our work (in preparation) on the Arakelov geometry of moduli spaces of curves.

研究动机与目标

• 使用几何方法重新证明Morita关于曲线模空间上同调中特征类的结果。
• 通过全纯线丛的相对Picard群，对上同调类$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$进行几何解释。
• 利用canonical bundle和层次结构，对$g \geq 3$建立同构$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$。
• 分析该上同调类在层次$l$子群上的限制，证明当$l$为奇数时其像为$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$，当$l$为正偶数时其像为$\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$。

提出的方法

• 使用扩张$1 \to H_\mathbb{Z} \to \Gamma_g^1 \to \Gamma_g \to 1$的谱序列，并证明当层次$\geq 4$时，其在$E_2$项退化，从而推出$H^2(\Gamma_g^1, \mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q} \oplus H^2(\Gamma_g, \mathbb{Q}) \oplus H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q})$。
• 利用$-I \in \Gamma_1$的中心消去技巧，证明当$g \geq 2$时，$H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q}) = 0$。
• 通过全纯线丛的相对Picard群$\operatorname{Pic}^d_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$构造一个群同态$\epsilon: \mathbb{Z} \to H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$。
• 利用canonical bundle作为$\operatorname{Pic}^{2g-2}_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$的截面，证明$\epsilon$可分解为$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$。
• 应用Francetta猜想的解，证明仅当$d$被$2g-2$整除时$\epsilon(d) = 0$，从而证明同态的单射性。
• 使用上同调系数定理和Johnson定理，证明$H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$平凡，从而支持同构的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 上同调类$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$的几何解释是什么？
• RQ2 全纯线丛的相对Picard群如何实现上同调类$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$？
• RQ3 为何$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$在层次$l$子群上的限制在$l$为奇数时给出$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$，在$l$为正偶数时给出$\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$？
• RQ4 canonical bundle在确定$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$中上同调类阶数方面起什么作用？
• RQ5 为何当层次$\geq 4$时，扩张$1 \to H_\mathbb{Z} \to \Gamma_g^1 \to \Gamma_g \to 1$的谱序列在$E_2$退化，从而支持$H^2(\Gamma_g^1, \mathbb{Q})$的计算？

主要发现

• 当所有$g \geq 3$时，第二上同调群$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$同构于$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$。
• 该同构通过映射$\epsilon: \mathbb{Z} \to H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$实现，该映射由相对Picard群$\operatorname{Pic}^d_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$定义。
• $\epsilon(d)$当且仅当$d$被$2g-2$整除时为零，此结论通过Francetta猜想的解以及$H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$的平凡性得以证明。
• $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z}) \to H^2(\Gamma_g[l], H_\mathbb{Z})$的限制映射在$l$为奇数时像为$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$，在$l$为正偶数时像为$\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$。
• 对于扩张$1 \to H_\mathbb{Z} \to \Gamma_g^1 \to \Gamma_g \to 1$，当层次$\geq 4$时，谱序列在$E_2$退化，这表明当$g \geq 2$时，$H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q}) = 0$。
• canonical bundle为$\operatorname{Pic}^{2g-2}_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$提供了一个截面，这迫使同态$\epsilon$分解为$\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$。