[论文解读] Geometric recursion

Jørgen Ellegaard Andersen|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文引入了几何递归（Geometric Recursion, GR），一种函子性框架，用于从曲面对与一个边界的一类曲面的初始数据，构造映射类群不变的向量。通过递归地切除成对的曲面对，并使用递归核，GR 生成了在带边黎曼曲面上的模空间上的可测函数，其在 Weil–Petersson 测度下的积分满足广义拓扑递归，从而推广了 Mirzakhani–McShane 恒等式，并将其与共形块丛的示性类联系起来。

ABSTRACT

Geometric Recursion is a very general machinery for constructing mapping class group invariants objects associated to two dimensional surfaces. After presenting the general abstract definition we shall see how a number of constructions in low dimensional geometry and topology fits into this setting. These will include the Mirzakhani-McShane identies, mapping class group invariant closed forms on Teichmüller space (including the Weil-Petterson symplectic form) and the Goldman symplectic form.

研究动机与目标

• 开发一种通用的、函子性的框架，基于递归分解为带边曲面分配不变量。
• 确立递归中无限和收敛的条件，以确保构造的良定义性。
• 证明在 Teichmüller 空间上生成的函数关于 Weil–Petersson 测度是可测且可积的。
• 证明这些函数的积分满足广义拓扑递归，从而推广 Eynard–Orantin 形式化。
• 统一并推广 Mirzakhani–McShane 恒等式，用于多闭曲线长度统计，并将其与共形块丛的示性类联系起来。

提出的方法

• 定义带标记边界的带边曲面的范畴，并通过切除嵌入的曲面对，从低亏格曲面递归构建不变量。
• 将目标理论构造为从曲面到拓扑向量空间的函子，初始数据在 (0,3) 和 (1,1) 曲面上指定。
• 引入胶合映射的递归核，确保在映射类群作用下的一致性。
• 通过胶合映射的递归复合以及对嵌入曲面对的同伦类求和，定义几何递归算子。
• 通过将形式化应用于 Teichmüller 空间，利用多闭曲线和小曲面对计数的界，通过递归分配函数。
• 通过证明在固定边界长度的模空间上，GR 生成函数的积分满足 Eynard–Orantin 递归，建立与拓扑递归的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种通用的、函子性的构造方法，通过递归分解为带边黎曼曲面分配不变量？
• RQ2 在切除的曲面对的无限和收敛的条件下，构造的良定义性如何保证？
• RQ3 几何递归能否生成在模空间上关于 Weil–Petersson 测度可积的函数？
• RQ4 GR 生成函数的积分是否满足拓扑递归？如果是，它如何推广 Eynard–Orantin 形式化？
• RQ5 该形式化能否重现并推广用于多闭曲线长度统计的 Mirzakhani–McShane 恒等式，并将其与共形块的示性类联系起来？

主要发现

• 几何递归通过递归切除曲面对，在目标范畴的拓扑向量空间中生成映射类群不变的向量。
• 该构造在固定边界长度时，生成了在 Teichmüller 空间上关于 Weil–Petersson 测度可测且可积的函数。
• GR 生成函数在模空间上的积分满足广义拓扑递归，从而推广了 Eynard–Orantin 形式化。
• 该形式化将 Mirzakhani–McShane 恒等式推广到多闭曲线的双曲长度乘性统计，其积分满足拓扑递归。
• 模空间上的短程函数可作为 GR 生成函数的特例被恢复。
• 共形块丛的示性类的交积指标可用相同的多闭曲线长度统计表示，从而提供了几何解释。