[论文解读] Roots of asymmetric geometric representations of Coxeter groups

Robert G. Donnelly|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了考克斯eter群的非对称几何表示，将标准表示推广至包含卡克斯–莫迪外尔群的情形。它基于与考克斯eter图相关的图，给出了非平凡根倍数为根的条件，以及群元素将正根映射为负根的根数有限的条件的组合表征。

ABSTRACT

Results are obtained concerning the roots of asymmetric geometric representations of Coxeter groups. These representations were independently introduced by Vinberg and Eriksson, and generalize the standard geometric representation of a Coxeter group in such a way as to include all Kac–Moody Weyl groups. In particular, a characterization of when a non-trivial multiple of a root may also be a root is given in the general context. Characterizations of when the number of such multiples of a root is finite and when the number of positive roots sent to negative roots by a group element is finite are also given. These characterizations are stated in terms of combinatorial conditions on a graph closely related to the Coxeter graph for the group.

研究动机与目标

• 将考克斯eter群的几何表示从标准情形推广至包含卡克斯–莫迪外尔群的情形。
• 确定在非对称几何表示中，根的非平凡倍数何时自身也是根。
• 表征群元素将正根映射为负根的根数有限的条件。
• 以与考克斯eter群相关图的组合条件表达上述表征。

提出的方法

• 利用维纳伯格和艾里克森独立提出的考克斯eter群的非对称几何表示。
• 通过与考克斯eter图密切相关的一个图，分析这些表示中的根系。
• 应用图上的组合条件，以确定根倍数和符号变化的性质。
• 建立根重数与符号反转有限性同图结构特征之间的等价关系。
• 运用考克斯eter群理论与根系几何的技术，推导出必要且充分的条件。
• 依赖于群元素、根系与关联图结构之间的相互作用，以推导出表征结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非对称几何表示中根的非平凡倍数也是根？
• RQ2 群元素将正根映射为负根的根数何时有限？
• RQ3 此类根符号反转的有限性如何通过组合条件表征？
• RQ4 与考克斯eter群关联的图在决定根重数中起什么作用？
• RQ5 图的何种组合性质对应于多重根的存在？

主要发现

• 当且仅当关联图满足特定组合条件时，根的非平凡倍数也是根。
• 当且仅当满足某种子图条件时，群元素将正根映射为负根的根数有限。
• 根倍数的有限性由图结构中不存在无限链来表征。
• 用于表征的图与考克斯eter图密切相关，但编码了与非对称表示相关的附加信息。
• 结果将标准几何表示的已知性质推广至更广泛的卡克斯–莫迪外尔群类。
• 表征结果既必要又充分，为所研究现象提供了完整的组合准则。