[论文解读] Geometric structures on contactomorphism groups and contact rigidity in jet spaces

Frol Zapolsky|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过Legendrian的生成函数，在喷射空间 $J^1N$ 和 $T^*N \times S^1$ 的接触微分同胚群上建立了内在的双不变偏序和整数值度量。证明了接触刚性结果：在某些条件下，特定子集 $X \times S^1$ 无法通过接触同伦与零截面分离，且由哈密顿位移可实现的支撑集生成的两两可交换接触微分同胚的乘积受到限制，该结果基于谱不变量和一个部分拟同态 $\nu$。关键贡献在于通过序理论与度量结构，为喷射空间中的接触刚性提供了新的几何与动力学理解。

ABSTRACT

For a closed connected manifold N, we establish the existence of geometric structures on various subgroups of the contactomorphism group of the standard contact jet space J^1N, as well as on the group of contactomorphisms of the standard contact T*N imes S^1 generated by compactly supported contact vector fields. The geometric structures are biinvariant partial orders (for J^1N and T*N imes S^1) and biinvariant integer-valued metrics (T*N imes S^1 only). Also we prove some forms of contact rigidity in T*N imes S^1, namely that certain (possibly singular) subsets of the form X imes S^1 cannot be disjoined from the zero section by a contact isotopy, and in addition that there are restrictions on the kind of contactomorphisms of T*N imes S^1 which are products of pairwise commuting contactomorphisms generated by vector fields supported in sets of the form U imes S^1 with U \subset T*N Hamiltonian displaceable. The method is that of generating functions for Legendrians in jet spaces.

研究动机与目标

• 在喷射空间 $J^1N = T^*N \times \mathbb{R}$ 和 $V = T^*N \times S^1$ 的接触微分同胚群子群上构造内在的几何结构——双不变偏序与整数值度量。
• 通过分析接触同伦的动力学及其谱不变量，扩展喷射空间中接触刚性的理论。
• 证明在 $X$ 为超重集的条件下，$T^*N \times S^1$ 中形如 $X \times S^1$ 的某些子集无法通过接触同伦与零截面分离。
• 建立由紧支集接触向量场在位移可实现集合中生成的两两可交换元素之乘积的接触微分同胚的限制。

提出的方法

• 利用喷射空间中Legendrian的生成函数，定义并分析与接触哈密顿量相关的谱不变量。
• 在 $\operatorname{Cont}_{0,c}(V)$ 上引入一个部分拟同态 $\nu$，其定义为谱不变量的渐近化，该同态在共轭下不变并保持群结构。
• 应用谱不变量 $\ell_{\pm}$ 及其渐近化，推导出 $\operatorname{Cont}_{0,c}(V)$ 上的整数值度量 $\nu$，该度量满足单调性与共轭不变性等性质。
• 依赖于 $T^*N$ 上哈密顿量的预量子化，将谱数据提升至 $T^*N \times S^1$ 上的接触哈密顿量，从而建立哈密顿与接触动力学之间的联系。
• 利用若接触哈密顿量的支集远离零截面，则其谱不变量为零（即 $\nu(\phi_H) = 0$）的事实，证明刚性结果。
• 利用子集 $X \subset T^*N$ 的超重性概念，证明当哈密顿量 $H$ 支集在 $X$ 的邻域内时，有 $\nu(\phi_H) = 1$，从而在假设 $X \times S^1$ 可位移时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在喷射空间 $J^1N$ 和 $T^*N \times S^1$ 的接触微分同胚群子群上自然地定义双不变偏序？
• RQ2 接触微分同胚群 $T^*N \times S^1$ 是否允许存在双不变整数值度量？若存在，其构造方式如何？
• RQ3 若 $X$ 为超重集，则 $T^*N \times S^1$ 中形如 $X \times S^1$ 的子集能否通过接触同伦与零截面分离？
• RQ4 在 $T^*N$ 中由哈密顿位移可实现集合中支持的向量场生成的两两可交换元素之乘积的接触微分同胚存在何种限制？
• RQ5 接触哈密顿量的谱不变量如何与它们的动力学及接触微分同胚群上的几何结构相关联？

主要发现

• 群 $\operatorname{Cont}_0(J^1N)$、$\operatorname{Cont}_{0,c}(J^1N)$ 和 $\operatorname{Cont}_0^\mathbb{Z}(J^1N) \simeq \operatorname{Cont}_{0,c}(T^*N \times S^1)$ 分别自然地携带双不变偏序 $\leq$、$\leq_c$ 和 $\leq^\mathbb{Z}$，这些序由接触同伦的正性诱导。
• $\operatorname{Cont}_{0,c}(T^*N \times S^1)$ 允许一个双不变整数值度量 $\nu$，其构造为接触哈密顿量谱不变量的渐近化。
• 若 $X \subset T^*N$ 为超重集，且 $H$ 为支集在 $X$ 邻域内的接触哈密顿量，则 $\nu(\phi_H) = 1$，若假设 $X \times S^1$ 可从零截面位移，则导致矛盾。
• 支集远离零截面的接触微分同胚满足 $\nu(\phi_H) = 0$，且该性质在共轭与乘积下保持不变。
• 若 $H \geq c > 0$ 在 $T^*N \times S^1$ 的零墙处成立，则 $\nu(\phi_H) \geq 1$，表明此类流在度量 $\nu$ 下不可能平凡，从而限制其分解为来自位移可实现支撑集的可交换流。
• 部分拟同态 $\nu$ 满足当 $H$ 为 $T^*N$ 上哈密顿量 $h$ 的预量子化时 $\nu(\phi_H) = \mu(\phi_h)$，从而将接触与哈密顿谱不变量联系起来。