[论文解读] Partial quasi-morphisms and quasi-states on cotangent bundles, and symplectic homogenization

Alexandra Monzner, Nicolas Vichery+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文在紧致连通流形 $N$ 的余切丛 $T^*N$ 上，构造了哈密顿群和紧支集光滑函数空间上的部分拟态射 $μ_a$ 与拟态态 $ξ_a$ 的族，参数 $a \in H^1(N;\mathbb{R})$。这些函数推广了 Entov-Polterovich 理论，并在 $N = \mathbb{T}^n$ 时与 Viterbo 的辛同伦化一致，为辛刚性、霍弗几何、泊松括号不等式以及莫泽理论提供了统一的框架，其基础是拉格朗日子流形 Floer 同调中的谱不变量。

ABSTRACT

For a closed connected manifold N, we construct a family of functions on the Hamiltonian group G of the cotangent bundle T^*N, and a family of functions on the space of smooth functions with compact support on T^*N. These satisfy properties analogous to those of partial quasi-morphisms and quasi-states of Entov and Polterovich. The families are parametrized by the first real cohomology of N. In the case N=T^n the family of functions on G coincides with Viterbo's symplectic homogenization operator. These functions have applications to the algebraic and geometric structure of G, to Aubry-Mather theory, to restrictions on Poisson brackets, and to symplectic rigidity.

研究动机与目标

• 将部分拟态射与拟态态理论从 $\mathbb{T}^n$ 的情形推广至一般紧致连通流形 $N$ 的余切丛 $T^*N$。
• 通过拉格朗日子流形 Floer 同调中的谱不变量，建立 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 的统一构造。
• 证明当 $N = \mathbb{T}^n$ 时，$\mu_a$ 与 Viterbo 的辛同伦化算子一致，从而将同伦化嵌入更广泛的代数几何框架。
• 将这些构造应用于辛拓扑中已知结果的新且清晰的证明，包括分解范数估计、泊松括号限制以及辛刚性。
• 证明谱不变量的精确三角不等式，并建立关联拉格朗日与哈密顿不变量的乘积公式，从而实现 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 的消失性质。

提出的方法

• 通过拉格朗日子流形 Floer 同调中的谱不变量构造 $\mu_a$，并利用上同调类 $a \in H^1(N;\mathbb{R})$ 对其进行同伦化。
• $\zeta_a$ 通过从群 $\mathcal{G}$ 到 $T^*N$ 上紧支集光滑函数空间的指数映射，将 $\mu_a$ 拉回得到。
• 证明了谱不变量的精确三角不等式，确保其可下降至哈密顿群 $\mathcal{G}$。
• 建立了关联拉格朗日与哈密顿 Floer 同调谱不变量的乘积公式，这对证明 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 的消失性质至关重要。
• 构造中使用了包含函数 $f_\varepsilon(t) = \varepsilon f(t/\varepsilon)$ 的截断过程，以逼近具有完整流的哈密顿量，从而实现向谱范数的收敛。
• 对辛刚性的证明依赖于 $\zeta_a$ 的 $C^0$ 连续性，以及将支集靠近超重集的函数分解为具有不相交支集的分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将部分拟态射与拟态态从 $\mathbb{T}^n$ 推广至任意紧致连通流形 $N$ 的余切丛 $T^*N$？
• RQ2 所构造的 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 与 $T^*\mathbb{T}^n$ 上 Viterbo 的辛同伦化算子之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否利用拉格朗日子流形 Floer 同调中的谱不变量来构造并表征具有所需代数与几何性质的 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$？
• RQ4 这些函数在多大程度上为辛拓扑中已知结果（如分解范数估计与泊松括号不等式）提供了新证明或简化证明？
• RQ5 拉格朗日与哈密顿谱不变量之间的乘积公式在建立 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 的消失性质中起什么作用？

主要发现

• 哈密顿群 $\mathcal{G}$ 上的函数族 $\mu_a$ 满足类似于部分拟态射的性质，包括精确三角不等式与群结构的相容性。
• 紧支集光滑函数空间 $C^\infty_c(T^*N)$ 上的函数族 $\zeta_a$ 满足类似于拟态态的性质，包括 $C^0$ 连续性与在超重集上的归一化。
• 当 $N = \mathbb{T}^n$ 时，函数 $\mu_a$ 与 Viterbo 的辛同伦化算子一致，且对任意紧支集哈密顿量 $H$，有 $\overline{H}(p) = \mu_p(\phi_H^1)$。
• 构造中使用的谱不变量满足精确三角不等式，这表明它们可下降至哈密顿群 $\mathcal{G}$，这是关键的技术结果。
• 证明了关联拉格朗日与哈密顿谱不变量的乘积公式，这对证明 $\mu_a$ 与 $\zeta_a$ 在可位移集合支集上的消失性质至关重要。
• 该构造给出了莫泽的 $\alpha$ 函数为辛不变量的全新证明，并以谱范数为基准，提供了分解范数的下界。