[论文解读] Geometric structures on Lie groups with flat bi-invariant metric

Vicente Cortés, Lars Schäfer|ArXiv.org|Jul 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文利用配备平坦双不变伪黎曼度量的2步幂零李群，对完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形进行了分类。研究表明，此类流形源于3-向量 η ∈ Λ³L，其具有迷向支撑且在满足 J² = ±Id 的反对称自同态 J 下为类型 (3,0)+(0,3)，从而产生近乎Kähler或近乎para-Kähler结构。主要贡献在于完整分类：所有此类流形在局部上同构于李群 L(η)，当 η 具有有理系数时，通过格子可构造出紧致非齐次例子。

ABSTRACT

Let L\subset V=\bR^{k,l} be a maximally isotropic subspace. It is shown that any simply connected Lie group with a bi-invariant flat pseudo-Riemannian metric of signature (k,l) is 2-step nilpotent and is defined by an element η\in Λ^3L\subset Λ^3V. If ηis of type (3,0)+(0,3) with respect to a skew-symmetric endomorphism J with J^2=\e Id, then the Lie group {\cal L}(η) is endowed with a left-invariant nearly Kähler structure if \e =-1 and with a left-invariant nearly para-Kähler structure if \e =+1. This construction exhausts all complete simply connected flat nearly (para-)Kähler manifolds. If η eq 0 has rational coefficients with respect to some basis, then {\cal L}(η) admits a lattice Γ, and the quotient Γ\setminus {\cal L}(η) is a compact inhomogeneous nearly (para-)Kähler manifold. The first non-trivial example occurs in six dimensions.

研究动机与目标

• 使用李群上的几何结构，对所有完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形进行分类。
• 表征具有平坦双不变度量的李群在何种条件下可赋予左不变近乎（para-）Kähler结构。
• 当定义3-向量具有有理系数时，通过这些李群中的格子构造紧致非齐次近乎（para-）Kähler流形。
• 证明通过 η ∈ Λ³L 且类型为 (3,0)+(0,3) 的构造方式，穷尽了所有此类完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形。

提出的方法

• 从具有迷向支撑的3-向量 η ∈ Λ³V（其中 L ⊂ V = ℝ^{k,l}，L 为极大迷向子空间）构造一个2步幂零李群 L(η)。
• 通过要求 η 具有迷向支撑，定义 L(η) 上的平坦双不变伪黎曼度量 h，确保其度量符号与 V 一致。
• 在 V 上引入一个满足 J² = -Id 或 +Id 的反对称自同态 J，以在 L(η) 上定义一个几乎（para-）复结构 J。
• 施加条件：η 关于 J 为类型 (3,0)+(0,3)，以确保几乎（para-）复结构与近乎（para-）Kähler结构相容。
• 当 η 具有有理系数时，利用 L(η) 中存在格子 Γ 的事实，构造商流形 Γ\L(η)，其为紧致非齐次近乎（para-）Kähler流形。
• 证明任意完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形在局部上同构于某类 L(η)，从而建立完整分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平坦双不变伪黎曼度量的单连通李群在何种充要条件下可赋予左不变近乎（para-）Kähler结构？
• RQ2 如何利用李群上的几何结构对所有完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形进行分类？
• RQ3 在何种条件下，李群 L(η) 关于格子 Γ 的商流形为紧致非齐次近乎（para-）Kähler流形？
• RQ4 此类平坦近乎（para-）Kähler流形的模空间（在同构意义下）是什么？其如何通过 GL(n) 作用下的3-向量轨道空间参数化？

主要发现

• 所有完备单连通平坦近乎（para-）Kähler流形均来自具有左不变近乎（para-）Kähler结构及平坦双不变度量的李群 L(η)。
• 该构造是完备的：所有此类流形在局部上同构于某个 η ∈ Λ³L（具有迷向支撑）且在满足 J² = ±Id 的 J 下为类型 (3,0)+(0,3) 的 L(η)。
• 当 η 关于某基具有有理系数时，L(η) 具有格子 Γ，其商 Γ\L(η) 为紧致非齐次近乎（para-）Kähler流形。
• 首个非平凡紧致例子出现在六维情形，源于非零 η ∈ Λ³V⁺ ⊂ ℝ^{3,3}，其中 V⁺ 为 J 的 +1-特征子空间。
• 类型为 (p,q) 的平坦近乎para-Kähler流形的模空间同构于 Λ⁻_{reg}L / GL(p) × GL(q)，其中 L = L⁺ + L⁻ 为 τ-不变的极大迷向子空间。
• 分类结果表明，任意此类流形均为平坦para-Kähler因子 ℝ^{l,l} 与分裂符号 (m,m)（m ≥ 3）的严格近乎para-Kähler因子的伪黎曼积。