[论文解读] Geometric transversality in higher genus Gromov-Witten theory

Andreas Gerstenberger|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过将 Cieliebak 和 Mohnke 在亏格 0 时的超曲面方法推广至任意亏格，利用哈密顿扰动、规范场理论紧致性以及精细的模空间分析，在目标流形中构造了一个明确定义的伪循环类，从而在高亏格 Gromov-Witten 理论中建立了几何横截性。关键结果是一个维数估计，证明了高亏格中全纯曲线的横截性，使得无需对辛流形施加拓扑限制即可定义行为良好的 Gromov-Witten 不变量。

ABSTRACT

The construction of manifold structures and fundamental classes on the (compactified) moduli spaces appearing in Gromov-Witten theory is a long-standing problem. Up until recently, most successful approaches involved the imposition of topological constraints like semi-positivity on the underlying symplectic manifold to deal with this situation. One conceptually very appealing approach that removed most of these restrictions is the approach by K. Cieliebak and K. Mohnke via complex hypersurfaces, [CM07]. In contrast to other approaches using abstract perturbation theory, it has the advantage that the objects to be studied still are spaces of holomorphic maps defined on Riemann surfaces. This article aims to generalise this from the case of surfaces of genus 0 dealt with in [CM07] to the general case, also using some of the methods from [IP03] and symplectic field theory, namely the compactness results from [BEH+03].

研究动机与目标

• 将 Cieliebak 和 Mohnke 在亏格 0 时的超曲面方法推广至高亏格 Gromov-Witten 理论，消除对辛流形施加半正性等拓扑限制的先决条件。
• 在目标辛流形中为任意亏格的全氢曲线构造一个明确定义的伪循环类，确保其在几乎复结构形变下的不变性。
• 通过分析具有节点黎曼曲面和亚纯建筑的稳定映射模空间，利用紧致性与扰动技术，建立高亏格中的几何横截性。

提出的方法

• 使用哈密顿扰动，实现从具有 n 个标记点的亏格 g 黎曼曲面到全纯映射模空间的横截性。
• 应用规范场理论紧致性结果，控制模空间闭包中泡的形成与边界层结构。
• 采用一个正则的带标记黎曼曲面的节点族及其相应的遗忘映射，确保在不同亏格与标记点数量下结构的一致性。
• 引入亚纯建筑及其在节点与标记点处的相容性条件，以控制各分量之间的切触与粘合数据。
• 通过欧拉示性数与陈类项推导全纯曲线模空间及其分量的维数估计，以界定其期望维数。
• 通过精细紧致性与边界层结构分析，将一般情形约化至同调类为零的情形，确保扰动下横截性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cieliebak 和 Mohnke 在亏格 0 时的超曲面方法能否在不施加辛流形半正性或其他拓扑约束的条件下，推广至高亏格 Gromov-Witten 理论？
• RQ2 当模空间本身并非自然流形时，如何确保高亏格中全氢曲线的几何横截性？
• RQ3 在高亏格中，具有节点黎曼曲面与亚纯建筑的全纯曲线模空间的正确维数估计是什么？
• RQ4 如何在模空间的不同层之间一致地定义评估映射与遗忘映射，以确保其在几乎复结构形变下的不变性？
• RQ5 为保持横截性并确保伪循环明确定义，必须在节点与标记点处施加哪些相容性与切触条件？

主要发现

• 在所提出的扰动与紧致性框架下，亏格 g ≥ 1 的全纯曲线模空间具有明确定义的伪循环结构，从而可定义 Gromov-Witten 不变量。
• 具有亚纯建筑与切触条件的全纯曲线模空间的期望维数被上界控制在目标空间实维数减 2 以内，从而确保横截性。
• 模空间的闭包是紧致的，可通过节点黎曼曲面与亚纯建筑进行分层描述，其边界层由相容性与切触条件控制。
• 通过评估映射定义的伪循环类在几乎复结构形变下保持不变，这通过构造一族扰动模空间的 cobordism 得到证明。
• 通过维数估计与边界层结构分析，该构造可约化至同调类为零的情形，从而将一般情形简化为有限个拓扑类型。
• 最终的维数估计确认，满足所有相容性与切触约束的全纯曲线模空间的实维数至多为 dimℝ(M) − 2，从而在几何意义上证明了横截性。