[论文解读] Geometrical pluripotential theory on Sasaki manifolds

Weiyong He, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文通过利用Sasaki流形的横截Kähler结构，将复几何中关于Kähler流形的极值函数理论基础结果推广至Sasaki流形。研究证明了横截Kähler势的集合在$d_p$-度量下构成一个完备的测地度量空间，并建立了$d_p$-距离与能量泛函（如$I_p$）之间的统一等价性。这些结果对于通过$Χ$-能量的恰当性来刻画常标量曲率Sasaki度量的存在性至关重要。

ABSTRACT

We extend profound results in pluripotential theory on Kahler manifolds to Sasaki setting via its transverse Kahler structure. As in Kahler case, these results form a very important piece to solve the existence of Sasaki metrics with constant scalar curvature (cscs) in terms of properness of K-energy. One main result is to generalize T. Darvas' theory on the geometric structure of the space of Kahler potentials in Sasaki setting. Along the way we extend most of corresponding results in pluripotential theory to Sasaki setting via its transverse Kahler structure.

研究动机与目标

• 将极值函数理论在Kähler几何中的深刻结果，通过横截Kähler结构推广至Sasaki几何。
• 将T. Darvas在Kähler势空间中的几何框架推广至Sasaki情形。
• 在$d_p$-度量下，建立空间$\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$的度量完备性与测地结构。
• 为常标量曲率Sasaki度量的存在性问题提供极值函数理论基础。
• 将$\mathcal{K}$-能量泛函扩展至$\mathcal{E}_1$，并证明其在有限能量测地线上的凸性。

提出的方法

• 利用Sasaki流形上由Reeb叶状结构与接触分布诱导的横截Kähler结构。
• 将横截Kähler势的空间$\mathcal{H}$定义为满足$\omega_\phi = \omega^T + dd^c_B\phi > 0$的$\phi \in C^\infty_B(M)$，并通过在$d_p$度量下的度量完备化将其推广至$\mathcal{E}_p$。
• 在$\mathcal{E}_p$上引入$d_p$-度量，证明其为具有唯一有限能量测地线的完备测地度量空间。
• 建立统一等价性$C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$，其中$p \in [1,\infty)$，且$C = C(n,p) > 1$，将几何距离与能量泛函联系起来。
• 在叶状图中应用Zeriahi的统一Skoda可积性定理，以控制熵并证明$\mathcal{E}_1$中的紧致性。
• 将$\mathcal{K}$-能量扩展至$\mathcal{E}_1$，作为其在$\mathcal{H}$上限制的最大的$d_1$-下半连续扩张，并证明其在有限能量测地线上的凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过横截Kähler几何将Darvas在Kähler势空间中建立的几何结构推广至Sasaki情形？
• RQ2 在$p \in [1,\infty)$下，空间$\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$是否在$d_p$-度量下构成完备的测地度量空间？
• RQ3 在Sasaki情形下，$d_p$-距离与能量泛函（如$I_p$）之间存在何种关系？
• RQ4 $\mathcal{K}$-能量能否作为$d_1$-下半连续泛函扩展至$\mathcal{E}_1$，且其在有限能量测地线上是否为凸函数？
• RQ5 $d_1$-有界性与统一熵控制是否蕴含$\mathcal{E}_1$中的$d_1$-预紧性？

主要发现

• 对于所有$p \in [1,\infty)$，空间$({\mathcal{E}}_p(M,\xi,\omega^{T}),d_{p})$是完备的测地度量空间，任意两点间存在唯一的有限能量测地线。
• 存在统一常数$C = C(n,p) > 1$，使得$C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$，建立了几何距离与能量泛函之间的等价性。
• $d_p(u, \frac{u+v}{2}) \leq C d_p(u,v)$在全空间中一致成立，表明该度量空间中中点行为受控。
• $\mathcal{E}_1$中$d_1$-有界且熵统一有界的序列必存在$d_1$-收敛子列，证明了在熵控制下的$d_1$-预紧性。
• $\mathcal{K}$-能量可唯一地扩展至$\mathcal{E}_1$，作为其在$\mathcal{H}$上限制的最大的$d_1$-下半连续扩张，且在有限能量测地线上保持凸性。
• 在$d_1$-收敛下，有弱收敛$\omega_{u_k}^n \wedge \eta \rightharpoonup \omega_u^n \wedge \eta$，确保极限下体积形式的一致性。