[论文解读] Geometrical structures on the prolongation of a pre-Lie algebroid on fibered manifolds and application to Partial Finsler geometry on foliated anchored bundle

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文将几何结构——如非线性联络、Finsler联络和曲率——推广至纤维化流形上预-Lie代数丛的延拓上，证明在叶状结构化的带锚丛上，这些结构仅依赖于叶状结构，而不依赖于特定的预-Lie代数丛括号。关键结果是：总空间上的Finsler联络在每个叶上诱导出经典的Finsler联络与Chern联络。

ABSTRACT

A pre-Lie algebroid is an anchored bundle provided with an almost Lie bracket such that the anchor is compatible with the Lie bracket of vector fields. We firstly show how most geometrical structures intensively studied in the framework of Lie algebroid can easily be extended in the pre-Lie algebroid context. The principal purpose of this paper is to show that how all these results only depend of the foliated structure and do not depend of the pre-Lie algebroid structure that we can put on a foliated anchored bundle. As application, we obtain a Finsler connection on a foliated anchored bundle which induces the classical Finsler connection on each leaf and a similar result for the Chern connection.

研究动机与目标

• 将几何结构（如李代数丛上的非线性联络与Finsler联络）从李代数丛推广至纤维化流形上的预-Lie代数丛。
• 证明叶状结构化的带锚丛上的Finsler联络与Chern联络由与预-Lie代数丛括号无关的全局结构所诱导。
• 建立总空间中的曲率与叶状结构中各叶曲率之间的联系。
• 在部分Finsler代数丛及其在叶上的诱导结构背景下，定义并分析旗曲率。

提出的方法

• 将纤维化流形上的带锚丛进行延拓，构造一个新的向量丛，其上诱导有锚映射与几乎李括号。
• 在延拓上定义几乎切丛与几乎余切丛结构，以模拟非线性联络。
• 利用半喷射生成与辛结构及度量结构相容的典型非线性联络。
• 通过动力导子与典型半喷射构造拉格朗日度量联络，确保其与辛形式和度量形式相容。
• 在总空间上定义部分Finsler结构，并在叶状结构的每个叶上诱导出Finsler联络与Chern联络。
• 推导部分Finsler代数丛的旗曲率，并通过投影将其与各叶上的曲率关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将非线性联络与Finsler联络等几何结构从李代数丛推广至预-Lie代数丛？
• RQ2 在叶状结构化的带锚丛上，所诱导的Finsler联络与Chern联络在多大程度上依赖于预-Lie代数丛括号的选择？
• RQ3 部分Finsler代数丛的曲率与各叶上诱导的Finsler结构曲率之间有何关系？
• RQ4 总空间中的旗曲率与叶状结构中某一片叶的旗曲率之间存在何种关系？
• RQ5 总空间上的全局Finsler联络是否能诱导出每个叶上的经典Finsler联络与Chern联络？

主要发现

• 叶状结构化带锚丛总空间上的Finsler联络与Chern联络，会在每个叶上诱导出经典的Finsler联络与Chern联络。
• 在每个叶上诱导的联络与预-Lie代数丛括号的选择无关，仅依赖于叶状结构。
• 部分Finsler代数丛的黎曼曲率 $ R $ 与闵可夫斯基曲率 $ P $ 投影至每个叶 $ N $ 上的相应曲率 $ R_N $ 与 $ P_N $。
• 叶 $ N $ 上的旗曲率 $ K_N(ar{u}, ar{ u}) $ 等于总空间中的旗曲率 $ K(u, u) $，其中 $ ho_N(u) = ar{u} $ 且 $ ho_N( u) = ar{ u} $。
• 在 $ ilde{ ho} $ 的截面 $ U $ 上，线性联络 $ abla^U $ 的曲率满足 $ ilde{ ho}(R( ilde{X}, ilde{Y})(x, U(x))) = R^U(X,Y)(x) $，从而建立起总空间与叶曲率之间的联系。
• 与正则拉格朗日函数 $ ilde{ ho} $ 相关的典型非线性联络与辛结构及度量结构均相容，从而保证了其唯一性。