[论文解读] Geometry and braiding of Stokes data; Fission and wild character varieties

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 13

一句话总结

本文通过引入黎曼曲面上非正则极点的对数连接的Stokes数据，构建了新的代数Poisson流形，推广了复特征丛。利用准哈密顿框架，建立了具有非正则类型的极点连接与Stokes增强基本群胚表示之间的对应关系，通过模空间上的辫状结构，将映射类群作用推广至野生（非正则）情形。

ABSTRACT

A family of new algebraic Poisson varieties will be constructed, generalising the complex character varieties of Riemann surfaces. Then the well-known (Poisson) mapping class group actions on the character varieties will be generalised.

研究动机与目标

• 将特征丛的代数Poisson与辛结构推广至非正则极点连接的模空间。
• 为复半单群背景下的Stokes数据提供几何与代数框架。
• 通过Stokes表示上的辫状结构，将特征丛上的映射类群作用推广至野生（非正则）情形。
• 建立具有非正则类型的极点连接与Stokes增强基本群胚表示之间的对应关系。
• 引入高阶分裂空间与过滤Stokes局部系统，作为构建与分类野生特征丛的工具。

提出的方法

• 在从Stokes增强基本群胚 $\Pi$ 到复半单群 $G$ 的同态空间上构造 $G^m$-空间的准哈密顿结构。
• 引入Stokes表示 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$，作为单值表示的推广，通过幂幺子群纳入Stokes数据。
• 利用准哈密顿约化 $\mu^{-1}(\mathcal{C})/G^m$ 构造与非正则连接模空间的辛叶微同构的代数Poisson流形。
• 定义具有形式类型 $Q_i = \sum A_i/z^{k_i}$ 的非正则曲线，并通过过滤Stokes局部系统构造相应的贝蒂数数据。
• 应用多重求和理论与Ecalle的工作，将Stokes数据描述为幂幺子群中的元素，从而实现显式上链表示。
• 证明Stokes群 $\mathcal{R}(d)$ 与 $\mathcal{R}(d,k)$ 是正根的闭子集，通过李代数上的实线性泛函建立其代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何代数地构造具有非正则奇点的极点连接模空间，并赋予其Poisson结构？
• RQ2 映射类群作用在特征丛上的自然推广在野生（非正则）情形下是什么？
• RQ3 非正则连接的Stokes数据如何与带有Stokes结构的增强基本群胚表示对应？
• RQ4 过滤Stokes局部系统在分类具有无分支形式类型的Holonomic $\mathcal{D}$-模中的作用是什么？
• RQ5 Stokes群的代数结构如何严格建立，特别是其在根组合下的封闭性？

主要发现

• Stokes表示空间 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$ 是一个光滑仿射代数簇，配备有准哈密顿 $G^m$-作用与取值于群的矩映射。
• 准哈密顿约化 $\mu^{-1}(\mathcal{C})/G^m$ 产生与非正则连接模空间的辛叶微同构的代数Poisson流形。
• 在每个极点处具有非正则类型 $Q_i$ 的连接与 $\mathbf{H}$-轨道在 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{S}}(\Pi,G)$ 中之间存在双射对应，将Riemann–Hilbert对应推广至野生情形。
• $\mathcal{R}(d)$ 与 $\mathcal{R}(d,k)$ 中在方向 $d$ 上具有最大衰减的根集合在正整数组合下封闭，并位于同一组正根中。
• 存在实线性泛函 $\lambda \in \mathfrak{t}_{\mathbb{R}}$，使得对所有 $\alpha \in \mathcal{R}(d)$ 有 $\alpha(\lambda) > 0$，这证明 $\mathcal{R}(d)$ 包含于一个正根系中。
• 过滤Stokes局部系统将驯服的过滤局部系统推广至非正则情形，使得可为具有无分支形式类型的Parahoric丛构造准哈密顿空间。