[论文解读] Geometry of cohomology support loci II: integrability of Hitchin's map

Donu Arapura|ArXiv.org|Jan 26, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文证明了上同调支撑集——即在光滑复射影代数簇上具有平凡有理陈类且第k阶上同调非平凡的半稳定Higgs丛的集合——是阿贝尔簇的退化形式。通过Simpson的广义Hitchin映射，作者证明该映射像的一般纤维的连通分支为阿贝尔簇，从而借助超凯勒几何与拉格朗日子丛，将Green和Lazarsfeld的典型消去定理推广至非交换情形。

ABSTRACT

In very rough terms, the main theorem is that the set, which consists of semistable vector bundles with trivial rational Chern classes and nontrivial kth cohomology on a smooth complex projective variety, is a degeneration of a union of abelian varieties. More precisely, we consider the subset of the moduli space of Higgs bundles satisfying the analogous cohomological condition. We show that this set is Zariski closed and that if Sigma is the normalization of an irreducible component containing a stable point, then a connected component of a general fiber of the restriction of the Hitchin map to Sigma is an abelian variety. This should be interpreted as a nonabelian version of a theorem of Green and Lazarsfeld. The Hitchin map in this setting is in fact Simpson's generalization of it. The key point is to show that the general fibers of this map are lagrangian (where the target of the map is taken to be the image). This hinges on the fact that this property is essentially hereditary for hyperkaehler submanifolds. We establish various other properties of these sets including a codimension estimate which may be viewed as a generic vanishing theorem.

研究动机与目标

• 通过Higgs丛将Green和Lazarsfeld的典型消去定理推广至非交换情形。
• 分析半稳定Higgs丛模空间中具有平凡有理陈类的上同调支撑集的几何结构。
• 证明在支撑集的不可约分支上限制的Hitchin映射的纤维是拉格朗日子丛，且其连通分支包含阿贝尔簇。
• 证明具有非平凡上同调的Higgs丛集合在模空间中是Zariski闭集。
• 通过非交换情形下的典型消去结果解释，对上同调支撑集的余维数给出估计。

提出的方法

• 将Hitchin映射限制在包含一个稳定Higgs丛的上同调支撑集的不可约分支的正规化Σ上。
• 利用Hitchin映射的像作为目标，确保映射定义良好且为正规映射。
• 利用拉格朗日子丛在超凯勒子流形限制下保持遗传性的性质，证明一般纤维为拉格朗日子丛。
• 应用超凯勒几何技巧，推导出一般纤维的连通分支为阿贝尔簇。
• 通过模空间的代数几何性质，建立上同调支撑集的Zariski闭性。
• 利用Hitchin纤维丛的结构与纤维维数，推导出支撑集的余维数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Higgs丛模空间中的上同调支撑集是Zariski闭集？
• RQ2 能否证明Hitchin映射在上同调支撑集上的纤维包含阿贝尔簇作为连通分支？
• RQ3 上同调支撑集的不可约分支上限制时，Hitchin纤维丛的拉格朗日结构在多大程度上保持不变？
• RQ4 上同调支撑集的余维数与Hitchin映射纤维维数之间有何关系？
• RQ5 Simpson对Hitchin映射的推广在多大程度上允许将Green和Lazarsfeld的典型消去定理推广至非阿贝尔情形？

主要发现

• 具有平凡有理陈类且第k阶上同调非平凡的半稳定Higgs丛的上同调支撑集在模空间中是Zariski闭集。
• 若不可约分支Σ包含一个稳定Higgs丛，则Σ的正规化允许Hitchin映射的限制，其一般纤维的连通分支为阿贝尔簇。
• 受限Hitchin映射的一般纤维关于模空间上的全纯辛形式是拉格朗日子丛。
• 上同调支撑集的余维数有下界，其下界为Hitchin纤维丛底空间的维数，从而提供一个典型消去估计。
• 纤维的拉格朗日性质在限制至超凯勒子流形时得以保持，这对证明至关重要。
• 该结果将Green和Lazarsfeld关于线丛的典型消去定理推广至Higgs丛与表示模空间的非阿贝尔情形。