[论文解读] Geometry of diffeomorphism groups, complete integrability and optimal transport

Boris Khesin, Jonatan Lenells+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文在体积密度空间 $$\text{Dens}(M)$$ 与无限维球面的一个子集之间建立了几何等距同构，赋予其一个右不变的 $\dot{H}^{1}$-度量，该度量诱导出球面对应的Hellinger距离。所关联的Euler-Arnold方程在任意维度下均为完全可积，并表现出光滑解的有限时间爆破，从而通过Fisher-Rao度量将微分同胚群几何与最优传输及信息几何联系起来。

ABSTRACT

We study the geometry of the space of densities $\VolM$, which is the quotient space $\Diff(M)/\Diff_μ(M)$ of the diffeomorphism group of a compact manifold $M$ by the subgroup of volume-preserving diffemorphisms, endowed with a right-invariant homogeneous Sobolev $\dot{H}^1$-metric. We construct an explicit isometry from this space to (a subset of) an infinite-dimensional sphere and show that the associated Euler-Arnold equation is a completely integrable system in any space dimension. We also prove that its smooth solutions break down in finite time. Furthermore, we show that the $\dot{H}^1$-metric induces the Fisher-Rao (information) metric on the space of probability distributions, and thus its Riemannian distance is the spherical version of Hellinger distance. We compare it to the Wasserstein distance in optimal transport which is induced by an $L^2$-metric on $\Diff(M)$. The $\dot{H}^1$ geometry we introduce in this paper can be seen as an infinite-dimensional version of the geometric theory of statistical manifolds.

研究动机与目标

• 在右不变的 $\dot{H}^{1}$-度量下，建立商空间 $\text{Dens}(M) = \text{Diff}(M)/\text{Diff}_{\mu}(M)$ 与无限维球面一个子集之间的几何等距同构。
• 证明在 $\text{Dens}(M)$ 上诱导的 $\dot{H}^{1}$-度量对应于球面对应的Hellinger距离以及Fisher-Rao信息度量。
• 分析 $\text{Dens}(M)$ 上的测地流，证明Euler-Arnold方程的完全可积性以及光滑解的有限时间爆破。
• 通过微分同胚群的无限维黎曼几何，统一最优传输（Wasserstein $L^2$-度量）与信息几何（Fisher-Rao度量）的几何结构。

提出的方法

• 通过由 $\langle\!\!\langle u,v\rangle\!\!\rangle = \frac{1}{4}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$ 定义的 $\dot{H}^{1}$-范数，显式构造从 $\text{Dens}(M)$ 到无限维Hilbert球面子集的等距同构。
• 推导 $\dot{H}^{1}$-度量的Euler-Arnold方程，证明其通过反散射方法在球面上约化为完全可积系统。
• 证明 $\dot{H}^{1}$-度量在概率分布空间上诱导出Fisher-Rao度量，从而与信息几何及Chentsov-Amari $\alpha$-联络建立联系。
• 利用 $\text{Diff}(M)$ 到体积形式空间 $\mathrm{Vol}(M)$ 的嵌入，诱导出 $\text{Dens}(M)$ 上的右不变度量，其公式为 $\langle\!\!\langle u,v\rangle\!\!\rangle = \frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$。
• 分析测地流的曲率与整体性质，证明指数映射在爆破时间前是良定义的，且解在有限时间内破裂。
• 将构造推广至黎曼度量空间 $\text{Met}(M)$ 上的度量，证明在轨道上诱导的 $\dot{H}^{1}$-度量由包含Ricci曲率的通用 $a$-$b$-$c$ 度量公式控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在密度空间 $\text{Dens}(M)$ 上的 $\dot{H}^{1}$-度量如何与无限维球面的几何相关联？
• RQ2 在任意维度下，$\text{Dens}(M)$ 上 $\dot{H}^{1}$-度量相关的Euler-Arnold方程是否具有完全可积结构？
• RQ3 在无限维概率空间中，$\dot{H}^{1}$-度量与Fisher-Rao信息度量之间存在何种关系？
• RQ4 能否将 $\text{Dens}(M)$ 上的 $\dot{H}^{1}$-度量解释为球面对应Hellinger距离的几何实现？
• RQ5 与经典最优传输空间（如 $\text{Diff}(M)$ 上的 $L^2$-度量）相比，$\text{Dens}(M)$ 上测地线的曲率与整体动力学特性有何异同？

主要发现

• 赋予 $\dot{H}^{1}$-度量的 $\text{Dens}(M)$ 与无限维球面的一个子集等距同构，为密度空间提供了几何实现。
• $\dot{H}^{1}$-度量在概率分布空间上诱导出球面对应的Hellinger距离，即Fisher-Rao度量的黎曼距离。
• $\dot{H}^{1}$-度量的Euler-Arnold方程在任意空间维数下均为完全可积，推广了如Camassa-Holm与Burgers方程等可积系统。
• $\text{Dens}(M)$ 上测地线方程的光滑解在有限时间内破裂，表明尽管可积，仍存在有限时间爆破。
• $\text{Dens}(M)$ 上的 $\dot{H}^{1}$-度量自然地作为 $\text{Diff}(M)$ 在 $\mathrm{Vol}(M)$ 上作用的商度量，其诱导度量为 $\frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$。
• $\text{Dens}(M)$ 上 $\dot{H}^{1}$-度量的曲率为非平凡的，指数映射仅在有限爆破时间前定义良好，与光滑解的破裂一致。