[论文解读] Geometry of quasi-sum production functions with constant elasticity of substitution property

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Process Optimization and IntegrationEngineering参考文献 10被引用 22

一句话总结

本文对具有常替代弹性（CES）的拟和生产函数进行分类，并证明其图像的高斯-克罗内克曲率恒为零（即为平坦）当且仅当其为线性齐次广义ACMS函数或线性齐次广义柯柏-道格拉斯函数。该研究将微分几何中的曲率性质与微观经济生产函数结构相联系，提供了对关键微观经济生产模型的微分几何表征。

ABSTRACT

A production function $f$ is called quasi-sum if there are strict monotone functions $F, h_1,...,h_n$ with $F'>0$ such that $$f(x)= F(h_1 (x_1)+...+h_n (x_n)).$$ The justification for studying quasi-sum production functions is that these functions appear as solutions of the general bisymmetry equation and they are related to the problem of consistent aggregation. In this article, first we present the classification of quasi-sum production functions satisfying the constant elasticity of substitution property. Then we prove that if a quasi-sum production function satisfies the constant elasticity of substitution property, then its graph has vanishing Gauss-Kronecker curvature (or its graph is a flat space) if and only if the production function is either a linearly homogeneous generalized ACMS function or a linearly homogeneous generalized Cobb-Douglas function.

研究动机与目标

• 对满足常替代弹性（CES）性质的拟和生产函数进行分类。
• 研究此类生产函数图像具有零高斯-克罗内克曲率的几何条件。
• 建立图像几何平坦性与生产函数形式之间的必要且充分条件。
• 证明仅有两类特定的生产函数——线性齐次广义ACMS和线性齐次广义柯柏-道格拉斯函数——同时满足CES性质和图像曲率为零。
• 利用曲率不变量，提供对基本经济生产模型的微分几何时表征。

提出的方法

• 分析从拟和生产函数的一般形式开始：$ f(\mathbf{x}) = F(h_1(x_1) + \cdots + h_n(x_n)) $，其中 $ F' > 0 $ 且每个 $ h_i $ 严格单调。
• 通过基于海森矩阵的弹性公式 $ H_{ij}(\mathbf{x}) = \sigma $ 强制实施常替代弹性（CES）性质，其中 $ \sigma $ 对所有 $ i \neq j $ 为常数。
• 利用海森行列式与一阶导数计算 $ f $ 图像的高斯-克罗内克曲率，导出涉及 $ F'' $ 和 $ F' $ 的曲率条件。
• 通过令高斯-克罗内克曲率为零，推导出关于 $ F $ 的微分方程，并在CES约束下求解。
• 在两种情况下分析解：齐次广义ACMS和齐次广义柯柏-道格拉斯函数。
• 证明使用代换与变换技术，将曲率条件简化为可解的常微分方程，从而得出 $ F $ 的显式函数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有常替代弹性（CES）的拟和生产函数，其图像的高斯-克罗内克曲率为零？
• RQ2 拟和CES生产函数图像的何种几何条件意味着平坦性（零高斯-克罗内克曲率）？
• RQ3 是否仅有特定的函数形式同时满足CES性质与图像零曲率？
• RQ4 线性齐次广义ACMS与柯柏-道格拉斯函数类能否通过其曲率性质唯一表征？
• RQ5 图像的平坦性是否等价于生产函数为线性齐次广义ACMS或线性齐次广义柯柏-道格拉斯函数？

主要发现

• 拟和生产函数的图像具有零高斯-克罗内克曲率当且仅当其为如下形式的线性齐次广义ACMS函数：$ f(\mathbf{x}) = \gamma \left( \sum_{i=1}^n a_i^\rho x_i^\rho \right)^{1/\rho} $，其中 $ \gamma, a_i, \rho \neq 0 $。
• 拟和生产函数的图像具有零高斯-克罗内克曲率当且仅当其为如下形式的线性齐次广义柯柏-道格拉斯函数：$ f(\mathbf{x}) = \gamma x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} $，其中 $ \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 $ 且 $ \gamma, \alpha_i \neq 0 $。
• 对于形式为 $ f = F(x_2/x_1) $ 的两输入拟和函数，除非 $ F' = 0 $，否则高斯-克罗内克曲率无法为零，但这与 $ F $ 的严格单调性矛盾，因此此类函数被排除在平坦性条件之外。
• 由曲率条件导出的微分方程 $ F'(u) = (\sigma - 1)u F''(u) $ 导出幂律解 $ F(u) = \alpha u^{\sigma/(\sigma-1)} $，该解表征广义ACMS形式。
• 对于广义柯柏-道格拉斯情形，曲率条件导出 $ F'(u) = \gamma u^{1/\alpha - 1} $，进而得到 $ f(\mathbf{x}) = \gamma (x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n})^{1/\alpha} $，当 $ \sum \alpha_i = 1 $ 时退化为线性齐次形式。
• 反之亦然：所有度数为1的线性齐次广义ACMS与广义柯柏-道格拉斯函数均具有平坦图像，从而确认了该表征关系。