[论文解读] Geometry of warped product and CR-warped product submanifolds in Kaehler manifolds: modified version

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文综述了凯勒流形中扭曲积与CR-扭曲积子流形的微分几何最新进展，聚焦于内在曲率、第二基本形式的界以及非存在性定理。主要贡献包括第二基本形式平方模的精确不等式，以及对点态半-slant与双-slant子流形的分类结果，表明非平凡例子受扭曲函数和slant角的几何与解析条件严格约束。

ABSTRACT

The warped product $N_1 imes_f N_2$ of two Riemannian manifolds $(N_1,g_1)$ and $(N_2,g_2)$ is the product manifold $N_1 imes N_2$ equipped with the warped product metric $g=g_1+f^2 g_2$, where $f$ is a positive function on $N_1$. Warped products play very important roles in differential geometry as well as in physics. A submanifold $M$ of a Kaehler manifold $ ilde M$ is called a $CR$-warped product if it is a warped product $M_T imes_f N_\perp$ of a complex submanifold $M_T$ and a totally real submanifold $M_\perp$ of $ ilde M$. In this article we survey recent results on warped product and $CR$-warped product submanifolds in Kaehler manifolds. Several closely related results will also be presented.

研究动机与目标

• 综述凯勒流形中扭曲积与CR-扭曲积子流形的最新研究成果。
• 回应关于凯勒流形与黎曼流形中扭曲积流形等距浸入的 Fundamental Question A 和 B。
• 为各类扭曲积子流形类型提供第二基本形式平方模的精确几何不等式。
• 在曲率与扭曲函数约束下，对非平凡扭曲积子流形（特别是点态半-slant、双-slant与伪-slant类型）进行分类。

提出的方法

• 利用高斯公式与温加滕公式，关联环境凯勒流形与子流形的Levi-Civita联络。
• 应用高斯方程，推导涉及第二基本形式与环境曲率的曲率关系。
• 采用正交标架场，并计算扭曲函数的Laplacian，以分析几何约束。
• 利用扭曲函数的梯度与slant角，推导第二基本形式平方模的不等式。
• 通过分析分布（全纯、全实、slant）的结构，对扭曲积子流形进行分类。
• 利用平均曲率向量与极小性条件，刻画所推导不等式中等号成立的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒流形中，当 $ M_T $ 为复子流形且 $ N_\perp $ 为全实子流形时，扭曲积子流形 $ M_T \times_f N_\perp $ 在何种条件下存在？
• RQ2 在非平凡的CR-扭曲积或点态半-slant扭曲积中，扭曲函数 $ f $ 会引发何种几何约束？
• RQ3 凯勒流形中是否存在复子流形与恰当slant子流形的扭曲积？若否，原因为何？
• RQ4 扭曲积点态半-slant子流形的第二基本形式平方模的精确下界是什么？
• RQ5 slant角与扭曲函数如何影响扭曲积子流形的极小性与脐点性？

主要发现

• 当 $ N^T $ 为复子流形且 $ N^\theta $ 为恰当slant子流形时，在凯勒流形中不存在非平凡的扭曲积子流形 $ N^T \times_f N^\theta $。
• 对于点态半-slant扭曲积子流形 $ N^T \times_f N^\theta $，第二基本形式平方模满足 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla^T(\ln f)\|^2 $，等号成立当且仅当子流形极小且具有特定几何性质。
• 在点态双-slant扭曲积子流形中，要么扭曲函数为常数（此时为黎曼积），要么第二因子为全实子流形（即 $ \theta_2 = \pi/2 $）。
• 对于混合测地线的伪-slant扭曲积子流形，当全实因子为基底时，第二基本形式平方模满足 $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cos^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $。
• 当点态slant因子为基底时，不等式变为 $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cot^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $，表明其对slant角的依赖性更强。
• 点态半-slant子流形不等式中等号成立当且仅当复因子为全测地且slant因子为全脐，且整个子流形为极小子流形。