[论文解读] Geometry on Lie algebroids I: compatible geometric structures on the base

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文研究了李代数胚或卡坦-李代数胚基流形 $M$ 上的相容几何结构，表明黎曼相容性意味着诱导的叶层结构为黎曼叶层，从而使商空间 $Q = M/\sim$ 通过黎曼纤维丛继承一个度量。对于辛或广义黎曼结构，约化几何结构可能不同，例如可给出辛流形的泊松结构实现。本研究进一步证明，任何积分到恰当李群胚的李代数胚均具有相容的黎曼基流形，且从任意带锚结构的联络可唯一确定自由李代数胚上的卡坦联络。

ABSTRACT

The object of our study is a Lie algebroid $A$ or a Cartan-Lie algebroid $(A, abla)$ (a Lie algebroid with a compatible connection) over a base manifold $M$ equipped with appropriately compatible geometrical structures. The main focus is on a Riemannian base $(M,g)$, but we also consider symplectic and generalized Riemannian structures. For the Riemannian case, we show that the compatibility implies that the foliation induced by the Lie algebroid is a Riemannian foliation; thus, in particular, if the leaf space $Q = M/\!\sim$ is smooth, $Q$ permits a metric such that the quotient projection is a Riemannian submersion. For other structures on $M$ with a smooth leaf space $Q$, the reduced geometrical type on $Q$ can be different: for example, $(M,\omega)$ symplectic provides in general only a symplectic realization of a Poisson manifold $(Q,\mathcal{P})$. Building upon a result of del Hoyo and Fernandes, we prove that any Lie algebroid integrating to a proper Lie groupoid admits a compatible Riemannian base. We also show that, given an arbitrary connection on an anchored bundle, there is a unique Cartan connection on the corresponding free Lie algebroid.

研究动机与目标

• 研究李代数胚或卡坦-李代数胚基流形 $M$ 上的几何结构——黎曼、辛及广义黎曼——的相容性。
• 确定此类相容性对诱导叶层结构及商空间 $Q = M/\sim$ 的结构所产生的影响。
• 建立商空间 $Q$ 继承良好定义几何结构（如黎曼度量或泊松结构）的条件。
• 证明任何积分到恰当李群胚的李代数胚均具有相容的黎曼基流形结构。
• 证明由任意带锚结构的联络在自由李代数胚上诱导出的卡坦联络的存在性与唯一性。

提出的方法

• 利用李代数胚与卡坦-李代数胚的框架，聚焦于与李代数胚结构相容的联络。
• 应用 del Hoyo 与 Fernandes 关于恰当李群胚积分的结果，推导出基流形上相容黎曼度量的存在性。
• 通过余切映射分析 $M$ 上诱导的叶层结构，并在相容性条件下研究其几何性质。
• 构造由任意联络在带锚结构的丛上生成的自由李代数胚上的唯一卡坦联络。
• 运用微分几何技术研究几何结构向叶空间 $Q$ 的约化，尤其关注黎曼与辛情形。
• 借助黎曼纤维丛与泊松实现理论，建立 $M$ 与 $Q$ 之间几何结构的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，李代数胚基流形 $M$ 上的黎曼度量会诱导出 $M$ 上的黎曼叶层结构？
• RQ2 商空间 $Q = M/\sim$ 的几何结构与 $M$ 上原始几何结构之间存在何种关系，尤其在黎曼与辛情形下？
• RQ3 每个积分到恰当李群胚的李代数胚是否都能配备相容的黎曼基度量？
• RQ4 带锚结构上的联络与对应自由李代数胚上诱导的卡坦联络之间存在何种关系？
• RQ5 在辛基流形 $(M,\omega)$ 情形下，叶空间 $Q$ 继承何种类型的几何结构？

主要发现

• 李代数胚结构与基流形 $M$ 上黎曼度量 $g$ 的相容性意味着 $M$ 上诱导的叶层为黎曼叶层。
• 若商空间 $Q = M/\sim$ 光滑，则其继承一个黎曼度量，使得商映射 $M \to Q$ 为黎曼纤维丛。
• 对于辛基流形 $(M,\omega)$，叶空间 $Q$ 通常仅携带泊松结构，且 $(M,\omega)$ 是 $(Q,\mathcal{P})$ 的辛实现。
• 任何积分到恰当李群胚的李代数胚均具有相容的黎曼基流形度量。
• 给定任意带锚结构的联络，其在对应自由李代数胚上诱导出唯一的卡坦联络。
• 卡坦联络的构造是典范的，且完全由带锚结构上的初始联络决定。