[论文解读] Gerbes in classical Chern-Simons theory

Kiyonori Gomi|ArXiv.org|May 8, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在闭1-流形上的SU(2)-丛的规范场论中，通过循环群的中心扩张和主丛的提升，给出了$\mathbb{T}$-2-丛的几何构造。关键贡献在于在连接空间上建立了自然的$\mathbb{T}$-2-丛$\mathcal{B}_R(a)$，以及对具有边界的2-丛的典范提升$\widehat{B}_Q(A)$，并满足诸如粘合律等基本性质。

ABSTRACT

We construct geometrically a gerbe assigned to a connection on a principal SU(2)-bundle over an oriented closed 1-dimensional manifold. If the connection is given by the restriction of a connection on a bundle over a compact 2-manifold bounding the 1-manifold, then we have a natural object in the gerbe. The gerbes and the objects satisfy certain fundamental properties, e.g. gluing law.

研究动机与目标

• 在闭1-流形上的SU(2)-丛的规范连接空间上，几何地构造与之相关的$\mathbb{T}$-2-丛。
• 通过Mickelsson方法，将$\mathcal{G}_S$-主丛的结构群典范地提升至中心扩张$\widehat{\mathcal{G}}_S$。
• 建立具有边界的2-流形上的连接提升与边界上$\mathbb{T}$-2-丛中对象之间的对应关系。
• 证明2-丛和提升满足诸如粘合律等基本性质，推广了拓扑量子场论的公理体系。
• 为未来工作奠定基础，即在1-丛的连接空间上构造全局几何对象——Dixmier-Douady 2-丛。

提出的方法

• 在连接空间$\mathcal{A}_R$上构造一个平凡的$\mathcal{G}_S$-丛$B_R = \mathcal{A}_R \times \mathcal{S}_R$，其中$\mathcal{G}_S = \mathrm{Map}(S, SU(2))$作用于其上且作用是简单传递的。
• 使用Mickelsson方法构造循环群$\mathcal{G}_S$的中心扩张$1 \to \mathbb{T} \to \widehat{\mathcal{G}}_S \to \mathcal{G}_S \to 1$。
• 定义$\mathcal{B}_R(a)$为将$\mathcal{G}_S$-主丛$B_R(a)$提升至$\widehat{\mathcal{G}}_S$-主丛的范畴，该范畴构成$\mathcal{A}_R$上的$\mathbb{T}$-2-丛。
• 对于具有边界的紧致2-流形$\Sigma$上的2-丛$Q$，利用截面$\sigma_Q \in \mathcal{S}_Q$在$\mathcal{B}_{\partial Q}(\partial A)$中构造一个典范提升$\widehat{B}_Q(A)$。
• 通过中心扩张与积分理论，将三重提升的迹识别为$\mathbb{T}$-主从丛，从而建立粘合律。
• 利用规范变换诱导的同构，证明该构造在唯一同构意义下与平凡化选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在1-流形上的SU(2)-丛的规范场论中，几何地构造$\mathbb{T}$-2-丛？
• RQ2 循环群的中心扩张在实现1-维流形上连接的2-丛结构中起什么作用？
• RQ3 $\mathcal{G}_S$-主丛向$\widehat{\mathcal{G}}_S$-主丛的提升如何与Chern-Simons作用量和边界条件相关联？
• RQ4 能否在此几何框架中严格建立2-丛与提升的粘合律？
• RQ5 对具有边界的2-丛构造$\widehat{B}_Q(A)$如何与闭情形下的$\mathbb{T}$-主从丛$T_Q(A)$相关联？

主要发现

• 在闭1-流形$R$上的SU(2)-丛的连接空间$\mathcal{A}_R$上，几何地构造了$\mathbb{T}$-2-丛$\mathcal{B}_R(a)$。
• $\mathcal{G}_S$-主丛$B_R(a)$向$\widehat{\mathcal{G}}_S$-主丛的提升范畴$\mathcal{B}_R(a)$构成一个$\mathbb{T}$-2-丛，满足经典TQFT的公理。
• 对于具有边界的2-流形$\Sigma$上的丛$Q$上的连接$A$，构造了取值于$\mathcal{B}_{\partial Q}(\partial A)$的典范提升$\widehat{B}_Q(A)$。
• 建立了粘合律：三重提升的迹给出一个$\mathbb{T}$-主从丛，且该构造在唯一同构意义下与平凡化选择无关。
• 在闭情形（$\partial\Sigma = \emptyset$）下，迹映射$\mathrm{Tr}_a$诱导了$\mathbb{T}$-2-丛与标准$\mathbb{T}$-主从丛$T_Q(A)$之间的自然同构，从而恢复了Chern-Simons线丛。
• 该构造暗示了在$\mathcal{A}_R$上存在一个全局的Dixmier-Douady层的群丛（DD 2-丛），这将在未来工作中进一步研究。