[论文解读] Gerbes, (twisted) K-theory, and the supersymmetric WZW model

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|Jun 17, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 20

一句话总结

本文通过证明WZW模型中的超电荷族定义了一个扭曲K-理论类，建立了扭Gerbes、扭曲K-理论与超对称Wess-Zumino-Witten（WZW）模型之间的联系。利用在等级 $k+1/2$ 下的循环群的投影酉表示，作者证明了超电荷族在 $K^1(G, k')$ 中诱导出一个非平凡元素，其中扭曲 $k'$ 与相关主 $PU(H)$-丛的Dixmier-Douady类成比例。

ABSTRACT

The aim of this talk is to explain how symmetry breaking in a quantum field theory problem leads to a study of projective bundles, Dixmier-Douady classes, and associated gerbes. A gerbe manifests itself in different equivalent ways. Besides the cohomological description as a DD class, it can be defined in terms of a family of local line bundles or as a prolongation problem for an (infinite-dimensional) principal bundle, with the fiber consisting of (a subgroup of) projective unitaries in a Hilbert space. The prolongation aspect is directly related to the appearance of central extensions of (broken) symmetry groups. We also discuss the construction of twisted K-theory classes by families of supercharges for the supersymmetric Wess-Zumino-Witten model.

研究动机与目标

• 解释规范场论中的对称性破缺如何通过将投影丛提升为向量丛的障碍，导致Gerbes与中心扩张的出现。
• 将费米子场论中出现的Dixmier-Douady类与通过 $H^3(X, \mathbb{Z})$ 描述的Gerbes上同调描述联系起来。
• 利用超电荷族与循环群的投影表示，在超对称WZW模型中显式构造扭曲K-理论类。
• 将所得的扭曲K-理论类与Verlinde代数及仿射Kac-Moody代数的表示理论联系起来。

提出的方法

• 使用CAR代数的规范量子化方法定义Fock空间，以及无限维酉群的投影表示。
• 从投影丛的过渡函数出发，在开集 $U_{ij}$ 上构造局部线丛 $L_{ij}$，并通过三重重叠上的上链条件形成Gerbes。
• 通过Cech-de Rham双重复形中3-形式曲率的de Rham代表元来定义Dixmier-Douady类。
• 将扭曲K-理论类实现为从主 $PU(H)$-丛 $P$ 到Fredholm算子空间的等变映射，其中作用由投影酉群实现。
• 将与规范势 $A$ 耦合的超电荷 $Q_A$ 视为以连接空间 $\mathcal{A}/\Omega G$ 为参数的自伴算子族。
• 证明族 $Q_A$ 在循环群作用下满足等变性条件，从而在 $K^1(G, k')$ 中定义出扭曲K-理论类。

实验结果

研究问题

• RQ1 规范场论中规范对称性的破缺如何导致Gerbes与中心扩张的出现？
• RQ2 Gerbe的Dixmier-Douady类与de Rham上同调中曲率3-形式之间的精确关系是什么？
• RQ3 如何利用超对称WZW模型中的超电荷族来构造扭曲K-理论类？
• RQ4 等级为 $k+1/2$ 的循环群表示在定义 $K^1(G, k')$ 中的扭曲时起到什么作用？
• RQ5 群流形 $G$ 的扭曲K-理论与仿射李代数在等级 $k$ 下的Verlinde代数之间有何关系？

主要发现

• 在超对称WZW模型中，超电荷族 $Q_A$ 在扭曲K-理论群 $K^1(G, k')$ 中定义了一个非平凡元素，其中 $k' = (2k+1)/\theta^2$ 乘以 $H^3(G, \mathbb{Z})$ 的生成元。
• 与循环群在等级 $k+1/2$ 下的投影表示相关的主 $PU(H)$-丛的Dixmier-Douady类与扭曲 $k'$ 成比例。
• 在偶数维情形下，超电荷 $Q_A$ 分裂为手征分量 $Q_A^\pm$，每个分量通过指标理论在 $K^0(G, k')$ 中定义出一个非平凡元素。
• 对于 $s>0$，算子 $\exp(-sQ^2)$ 是迹类算子，其迹由玻色子与费米子Fock空间中最高权表示的Kac特征公式之积给出。
• JLO循环上同调可由 $Q$ 与电流代数元素 $S(f)$ 构造，其贡献有限，原因在于热核的指数衰减与算子的多项式增长。
• 通过WZW模型几何构造的扭曲K-理论预计与Verlinde代数同构，这与Freed、Hopkins与Teleman关于等变扭曲K-理论的工作相一致。