[论文解读] Getting Information on Independently Prepared Quantum States -- When Are Individual Measurements as Powerful as Joint Measurements?

Chi‐Hang Fred Fung, H. F. Chau|ArXiv.org|Aug 20, 2008

Quantum Information and Cryptography被引用 3

一句话总结

本文证明，对于独立制备的量子系统子系统，对每个子系统进行的单独测量可提取的香农互信息不少于任何联合测量。作者通过迹运算和条件概率，从给定的联合POVM构造出此类单独测量，表明在量子密钥分发中，集体攻击在获取原始密钥方面并不比单独攻击更强大。

ABSTRACT

Given a composite quantum system in which the states of the subsystems are independently (but not necessarily identically) prepared, we construct separate measurements on the subsystems from any given joint measurement such that the former always give at least as large information as the latter. This construction offers new insights into the understanding of measurements on this type of composite systems. Moreover, this construction essentially proves the intuition that separate measurements on the subsystems are sufficient to extract the maximal information about the separately prepared subsystems, thus making a joint measurement unnecessary. Furthermore, our result implies that individual attacks are as powerful as collective attacks in obtaining information on the raw key in quantum key distribution.

研究动机与目标

• 确定在独立制备的量子子系统情况下，单独测量是否可提取与联合测量一样多的信息。
• 从给定的联合POVM显式构造出单独POVM，使得信息增益得以保持或提升。
• 为“分别测量足以实现最大信息提取”这一直觉提供操作性和理论上的合理解释。
• 阐明该结果对量子密钥分发的影响，特别是关于单独攻击与集体攻击在原始密钥访问方面的等价性。
• 提供一种构造性替代方法，以替代现有可访问信息可加性证明，从而实现每个子系统仅使用单个测量，而非基于集合的测量。

提出的方法

• 对于双子系统系统，通过对另一个子系统进行部分迹运算，并对第二个子系统的所有可能状态进行条件化，推导出一个子系统的有效POVM。
• 利用联合POVM元素 $M_b$ 和先验概率 $p^{(k)}_{a_k}$，通过公式 $M^{(k)}_{b_k} = \operatorname{Tr}_{\bar{k}}[(\phi^{(k)}_{a_k} \otimes \mathbb{I}) M_b] p^{(k)}_{a_k}$ 计算单独测量算符。
• 通过在所有子系统上迭代应用条件测量原理，将该构造推广至 $K > 2$ 个子系统。
• 利用数据处理不等式，证明在该构造下，输入态与测量结果之间的互信息是非递减的。
• 提出第二种基于投影测量和条件态的构造方法，提供直观的操作意义。
• 使用Csiszár测度作为扩展至其他信息度量的可能途径，表明在凸性条件下，类似构造也可能成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子系统独立制备的情况下，单独测量是否可提取不少于联合测量的信息？
• RQ2 是否存在一种构造性方法，可从给定的联合POVM推导出单独POVM，且信息增益得以保持或提升？
• RQ3 所推导的单独测量在条件态投影方面的操作意义是什么？
• RQ4 该结果如何影响量子密钥分发中单独攻击与集体攻击的等价性？
• RQ5 该构造能否推广至香农互信息以外的其他信息度量？

主要发现

• 对于独立制备的量子子系统，单独测量可提取不少于任何联合测量的香农互信息。
• 所构造的单独POVM明确地从联合POVM通过部分迹和先验概率推导而来，确保信息无损失。
• 该构造适用于任意希尔伯特空间维数、任意数量的子系统，以及非相同的输入态分布。
• 该结果意味着在BB84等量子密钥分发协议中，单独攻击在获取原始密钥方面与集体攻击具有同等效力。
• 第二种构造方法提供了直观解释：已知其他子系统的状态，会将给定子系统的测量投影到一个条件POVM上。
• 该方法避免了基于集合的测量，每个子系统仅使用单个独立测量，与基于Wootters证明的先前方法不同。