[论文解读] On the properties of information gathering in quantum and classical measurements

Kurt Jacobs|ArXiv.org|Apr 30, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了量子测量与经典测量中的信息增益，区分了关于初始态的信息（对通信有用）与关于最终测量后态的信息（对态制备有用）。研究证明，对于对称测量，信息增益随初始不确定性增加而增大，并推导出幺正协变测量与可交换对称排列测量的经典容量公式，表明冯·诺依曼熵支配前者，而次熵支配后者。

ABSTRACT

The information provided by a classical measurement is unambiguously determined by the mutual information between the output results and the measured quantity. However, quantum mechanically there are at least two notions of information gathering which can be considered, one characterizing the information provided about the initial preparation, useful in communication, and the other characterizing the information about the final state, useful in state-preparation and control. Here we are interested in understanding the properties of these measures, and the information gathering capacities of quantum and classical measurements. We provide a partial answer to the question `in what sense does information gain increase with initial uncertainty?' by showing that, for classical and quantum measurements which are symmetric with respect to reversible transformations of the state space, the information gain regarding the initial state always increases with the observer's initial uncertainty. In addition, we calculate the capacity of all unitarily covariant and commutative permutation-symmetric measurements for obtaining classical information. While it is the von Neumann entropy of the effects which appears in the latter capacity, it is the subentropy which appears in the expression for the former.

研究动机与目标

• 澄清量子测量中两种信息增益概念的区别：一种关于初始态制备，另一种关于最终测量后态。
• 研究信息增益如何依赖于观察者在对称量子与经典测量中的初始不确定性。
• 推导幺正协变测量与可交换对称排列测量的经典信息容量。
• 确定哪类熵度量——冯·诺依曼熵或次熵——决定了不同测量类别的容量。

提出的方法

• 采用统一的形式体系，将经典测量表示为具有可交换、正定、对角算符的量子POVM的子集。
• 应用幺正反馈，表明任何量子测量均可通过正算子测量模拟，从而简化分析。
• 通过可逆变换下的不变性定义对称测量：对称排列测量（在基变换下不变）与幺正协变测量（在幺正共轭下不变）。
• 利用均匀 ensemble 上的互信息推导经典容量，表达为输入熵与条件熵之差。
• 通过哈尓测度对幺正变换进行积分，得到概率单纯形上的积分。
• 利用 Jozsa、Robb 与 Wootters 的已知结果求解积分，得到包含次熵与调和级数的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对称测量场景下，量子测量中的信息增益如何依赖于观察者的初始不确定性？
• RQ2 在量子测量中，关于初始态的信息增益与关于最终态的信息增益有何区别？
• RQ3 幺正协变测量的经典信息容量是多少？其容量由哪类熵度量决定？
• RQ4 可交换对称排列测量的容量与幺正协变测量的容量相比如何？
• RQ5 为何初始态信息的容量公式中出现次熵，而最终态信息的容量公式中出现冯·诺依曼熵？

主要发现

• 对于对称测量——包括对称排列测量与幺正协变测量——关于初始态的信息增益随观察者的初始不确定性增加而增大。
• 幺正协变测量的经典容量为 $ C = \ln N - N H[Q(U|\psi)] $，其中 $ H[Q(U|\psi)] $ 是结果上条件概率分布的熵。
• 条件熵的积分结果为 $ N H[Q(U|\psi)] = Q(E) + \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k} $，其中 $ Q(E) $ 是效应算符 $ E $ 的次熵。
• 当 $ E = I/N $ 时容量达到最大，此时容量为零，与最大不确定性一致。
• 对于完备测量（投影算符秩为1），容量简化为 $ \frac{1}{N} \left( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N} \right) $ nats，由贝塔函数积分导出。
• 次熵 $ Q(E) $ 始终小于或等于冯·诺依曼熵 $ S(E) $，且在 $ E $ 的本征值退化时仍保持有限。