[论文解读] GIT for polarized curves

Gilberto Bini, Fabio Felici+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 10

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{P}^{d-g}$ 中参数化次数为 $d$、亏格为 $g$ 的曲线的 Hilbert 与 Chow 算术基本群的几何不变性理论（GIT）商，识别出三个关键的次数阈值：$d = 4(2g-2)$、$d = \frac{7}{2}(2g-2)$ 和 $d = 2(2g-2)$。结果表明，Hilbert 与 Chow 的半稳定子簇重合，并在递减的次数范围内映射到伪稳定与弱伪稳定曲线的模堆栈，且在临界值处具有不同的 GIT 商。这些结果给出了全纯线丛的新型紧化。

ABSTRACT

We investigate GIT quotients of polarized curves. More specifically, we study the GIT problem for the Hilbert and Chow schemes of curves of degree d and genus g in a projective space of dimension d-g, as the ratio v:=d/(2g-2) decreases. We prove that the first three values of v at which the GIT quotients change are given by v=4, 3.5, 2. We show that, for v>4, L. Caporaso's results hold true for both Hilbert and Chow semistability. If 3.5

研究动机与目标

• 确定在 $d$ 相对于 $g$ 减小时，$\mathbb{P}^{d-g}$ 中次数为 $d$、亏格为 $g$ 的曲线的 Hilbert 与 Chow 算术基本群的 GIT 商如何变化。
• 识别出半稳定子簇与 GIT 商发生结构性变化的 $d$ 的临界值。
• 建立 Hilbert 与 Chow 半稳定子簇重合，并在特定次数范围内映射到伪稳定与弱伪稳定曲线的模堆栈。
• 在弱伪稳定与伪稳定曲线的模空间上，构造全纯线丛的新紧化。

提出的方法

• 通过几何不变性理论（GIT）分析 Hilbert 与 Chow 半稳定子簇，重点关注具有节点与尖点的曲线的稳定性条件。
• 应用基本不等式 $\deg_Z L \geq \frac{d}{2g-2}(2g_Z - 2 + k_Z) - \frac{k_Z}{2}$ 以确定子曲线的稳定性。
• 利用对偶图与子曲线分解的组合结果，对稳定、多稳定与半稳定构型进行分类。
• 研究半稳定子簇的稳定子子群与子簇，以分析 GIT 商的结构。
• 运用平衡线丛理论与正性条件，验证 canonical 及相关线丛的全局生成性与非常 ample 性。
• 应用 [CFHR99] 与 [BFS89] 中的准则，证明在次数界限下线丛的 $k$-非常 ample 性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么 $d$ 值下，$\mathbb{P}^{d-g}$ 中次数为 $d$、亏格为 $g$ 的曲线的 Hilbert 或 Chow 算术基本群的 GIT 商发生结构性变化？
• RQ2 在不同次数范围内，Hilbert 与 Chow 半稳定子簇如何比较，它们在何时重合？
• RQ3 在 $d > 4(2g-2)$、$\frac{7}{2}(2g-2) < d < 4(2g-2)$ 与 $2(2g-2) < d < \frac{7}{2}(2g-2)$ 的范围内，Hilbert 与 Chow 半稳定子簇分别映射到哪些模堆栈？
• RQ4 在临界值 $d = 4(2g-2)$ 与 $d = \frac{7}{2}(2g-2)$ 处，GIT 商的几何性质如何，此时 Hilbert 半稳定子簇严格小于 Chow 半稳定子簇？
• RQ5 这些结果能否用于在伪稳定与弱伪稳定曲线的模空间上构造全纯线丛的新紧化？

主要发现

• GIT 商发生结构性变化的前三个临界 $d$ 值为 $d = 4(2g-2)$、$d = \frac{7}{2}(2g-2)$ 与 $d = 2(2g-2)$。
• 当 $d > 4(2g-2)$ 时，Hilbert 与 Chow 半稳定子簇重合，且同构于稳定曲线的模空间，从而恢复了 Caporaso 的结果。
• 在 $\frac{7}{2}(2g-2) < d < 4(2g-2)$ 范围内，Hilbert 与 Chow 半稳定子簇重合，并映射到弱伪稳定曲线的模堆栈。
• 在 $2(2g-2) < d < \frac{7}{2}(2g-2)$ 范围内，Hilbert 与 Chow 半稳定子簇重合，并映射到伪稳定曲线的模堆栈。
• 在 $d = 4(2g-2)$ 与 $d = \frac{7}{2}(2g-2)$ 处，Hilbert 半稳定子簇严格小于 Chow 半稳定子簇，表明 GIT 结构发生变化。
• 这些结果给出了全 holomorphic 线丛的两个新紧化：一个在弱伪稳定曲线的模空间上，另一个在伪稳定曲线的模空间上。