[论文解读] Givental's non-linear Maslov index on lens spaces

Gustavo Granja, Yael Karshon+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 10

一句话总结

本文将吉文塔尔（Givental）在实射影空间上的非线性Maslov指标——定义在接触微分同胚群的万有覆叠上的拟同态——推广至透镜空间（lens spaces），利用生成函数与上同调指标理论构造了类似的不变量。关键贡献在于证明该指标是透镜空间接触微分同胚群的单位连通分支的万有覆叠上的拟同态，从而得出新的接触刚性结果，如序化性与判别度量的无界性。

ABSTRACT

Givental's non-linear Maslov index, constructed in 1990, is a quasimorphism on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of real projective space. This invariant was used by several authors to prove contact rigidity phenomena such as orderability, unboundedness of the discriminant and oscillation metrics, and a contact geometric version of the Arnold conjecture. In this article we give an analogue for lens spaces of Givental's construction and its applications.

研究动机与目标

• 将吉文塔尔原先定义在 $\mathbb{RP}^{2n-1}$ 上的非线性Maslov指标推广至透镜空间。
• 在透镜空间的接触微分同胚群的单位连通分支的万有覆叠上建立拟同态。
• 应用所构造的不变量，证明接触刚性现象，包括序化性与判别度量的无界性。
• 将生成函数与上同调指标理论的框架推广至透镜空间，类比于射影空间的情形。

提出的方法

• 利用同调连积运算与 $\mathbb{Z}_k$-等变同调，在透镜空间上构造上同调指标。
• 通过与接触同伦相关的生成函数定义非线性Maslov指标，类比于吉文塔尔原始构造。
• 通过证明在端点固定的同伦下不变性，证明该指标在接触微分同胚群的万有覆叠上定义良好。
• 通过证明该指标在同伦复合下满足有界误差条件，确立其拟同态性质。
• 利用上同调指标的连积可加性，控制该指标在同伦串联下的行为。
• 利用同调连积在 $\mathbb{Z}_k$ 作用下的交换性，推导出指标公式中的符号校正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 吉文塔尔的非线性Maslov指标能否从 $\mathbb{RP}^{2n-1}$ 推广至透镜空间 $L(k,1)$？
• RQ2 在透镜空间上构造的指标是否为接触微分同胚群的单位连通分支的万有覆叠上的拟同态？
• RQ3 该指标是否能检测透镜空间上的接触刚性现象，如序化性与判别度量的无界性？
• RQ4 在透镜空间中，上同调指标在 $\mathbb{Z}_k$-等变连积运算下的行为如何？

主要发现

• 透镜空间上的非线性Maslov指标是一个定义良好的拟同态 $\mu: \widetilde{\mathrm{Cont}}_0(L(k,1)) \to \mathbb{Z}$，满足 $|\mu(\phi \cdot \psi) - \mu(\phi) - \mu(\psi)| \leq C$，其中 $C$ 为某统一常数。
• 透镜空间上的上同调指标在 $\mathbb{Z}_k$-等变连积下具有可加性：$\mathrm{ind}(A \ast_{\mathbb{Z}_k} B) \geq \mathrm{ind}(A) + \mathrm{ind}(B)$，当两指标均为奇数时需校正 $-1$。
• 该指标在端点固定的同伦下保持不变，确保其可下降为接触微分同胚群万有覆叠上的良好映射。
• 该构造将吉文塔尔原始框架推广至透镜空间，保留了关键性质，如其作为与判别超曲面的交点指标的解释。
• 透镜空间上的同调连积满足符号交换性：$\tau_*(\alpha \ast_G \beta) = (-1)^{(l+1)(m+1)} \beta \ast_G \alpha$，这对指标的一致性至关重要。
• 本文证明该指标可检测透镜空间中的平移点与Reeb弦，将接触几何的应用拓展至此类流形。