[论文解读] Global boundedness and maximum principle for a Brezis-Oswald approach to mixed local and nonlocal operators

Stefano Biagi, Dimitri Mugnai+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了在拟线性局部算子 $-\Delta_p$ 与非局部 $p$-次拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s_p$ 之和作用下的次线性狄利克雷问题存在唯一正弱解的必要且充分条件，将 Bresis-Oswald 框架推广至混合局部-非局部算子。主要贡献在于全局有界性结果以及一个具有独立兴趣的新正则性定理。

ABSTRACT

In this paper we provide necessary and sufficient conditions for the existence of a unique positive weak solution for some sublinear Dirichlet problems driven by the sum of a quasilinear local and a nonlocal operator, i.e., $$\mathcal{L}_{p,s} = -\Delta_p + (-\Delta)^s_p.$$ Our main result is resemblant to the celebrated work by Brezis-Oswald [10]. In addition, we prove a regularity result of independent interest.

研究动机与目标

• 建立由拟线性局部算子与非局部 $p$-次拉普拉斯算子之和驱动的次线性狄利克雷问题存在唯一正弱解的必要且充分条件。
• 将经典的 Bresis-Oswald 方法推广至混合局部与非局部算子的设定，特别是 $\mathcal{L}_{p,s} = -\Delta_p + (-\Delta)^s_p$。
• 在该混合算子框架下，证明解的全局有界性结果。
• 建立此类问题解的具有独立兴趣的正则性结果。

提出的方法

• 分析依赖于变分方法与临界点理论，研究索伯列夫型函数空间中的弱解。
• 论文在非线性项中采用次线性结构，通过极小化技术确保正解的存在性。
• 利用比较原理建立解的唯一性与正性。
• 全局有界性证明依赖于分数阶索伯列夫空间中的先验估计与嵌入定理。
• 通过Bootstrap方法及非局部算子 $(-\Delta)^s_p$ 的性质推导正则性结果。
• 该框架借鉴了 Bresis-Oswald 方法，并针对局部与非局部项之间的相互作用进行了调整。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，问题 $\mathcal{L}_{p,s} u = f(x,u)$ 允许存在唯一正弱解？
• RQ2 Bresis-Oswald 条件如何推广至混合局部与非局部 $p$-次拉普拉斯算子的情形？
• RQ3 非局部项 $(-\Delta)^s_p$ 在确保解的全局有界性中起到何种作用？
• RQ4 能否为这类混合算子问题的解建立一个独立于主要存在性结果的正则性结果？

主要发现

• 建立了存在唯一正弱解的必要且充分条件，将 Bresis-Oswald 框架推广至混合局部-非局部算子。
• 解是全局有界的，这是此类问题定性分析中的关键结果。
• 获得了一个新正则性结果，表明解具有改进的可积性或 Hölder 连续性，且独立于主要存在性定理。
• 局部 $p$-次拉普拉斯算子与非局部 $p$-次拉普拉斯算子之间的相互作用被证明在确保解的唯一性与正性中起着关键作用。