[论文解读] Global classical solution to the Cauchy problem of 2D baratropic compressible Navier-Stokes system with large initial data

Jingchi Huang, Chao Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文在体积粘度 $\lambda = \rho^\beta$ 且 $\beta > 1$ 的条件下，建立了二维可压缩 Navier-Stokes 方程具有大初值时全局经典解的存在性与唯一性。通过能量估计与对数 Sobolev 不等式，作者导出了密度与速度梯度的先验估计，从而在不依赖初值在 $L^\infty$ 或 $L^2$ 范数下小量假设的前提下，将局部解延拓为全局解。

ABSTRACT

For periodic initial data with initial density, we establish the global existence and uniqueness of strong and classical solutions for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the shear viscosity is a positive constant and the bulk one is $\lam=ρ^{\b}$ with $\b>1.$

研究动机与目标

• 建立二维可压缩 Navier-Stokes 方程在大初值条件下的全局经典解的存在性与唯一性。
• 消除文献中以往为保证全局适定性所要求的 $\beta > 3$ 或 $\beta > 4/3$ 的限制。
• 通过证明密度及其梯度的统一上界，允许初值密度发生大振荡。
• 利用基于先验估计的反证法，将局部强解延拓为全局解。
• 在最小假设下证明结果：$\beta > 1$，$\gamma > 1$，初值密度属于 $W^{1,q}$，速度属于 $H^2$。

提出的方法

• 通过 $\Phi = (2\mu + \lambda(\rho))\nabla\rho$ 的输运方程导出密度的先验估计，并对 $|\Phi|^{q-2}\Phi$ 进行积分。
• 利用对数 Sobolev 不等式，将 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 控制在 $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ 与 $\|\nabla u\|_{L^2}$ 的范围内。
• 使用物质导数 $\dot{u} = u_t + u \cdot \nabla u$ 推导 $\|\rho^{1/2} \dot{u}\|_{L^2}$ 与 $\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}$ 的能量估计。
• 在通过 $L^2(0,T;L^q)$ 控制 $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ 后，对密度梯度估计 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 应用 Gronwall 不等式。
• 利用关系式 $\|\nabla^2 u\|_{L^q} \lesssim \|\nabla \text{div} u\|_{L^q} + \|\nabla \omega\|_{L^q}$ 及 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 的有界性，建立 $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ 的高阶估计。
• 采用反证法：假设寿命为有限 $T^*$，则证明 $\|\rho\|_{L^\infty}$ 与 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 的一致有界性允许解在 $T^*$ 之后继续延拓，与最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当体积粘度为 $\lambda = \rho^\beta$ 时，二维可压缩 Navier-Stokes 方程在大初值下是否可能存在全局经典解？
• RQ2 在不假设初值小量的前提下，全局适定性所需的 $\beta$ 的最小条件是什么？
• RQ3 当 $\beta > 1$ 时，能否为大初值建立密度的统一上界？
• RQ4 如何控制爆破准则以实现局部解的全局延拓？
• RQ5 能否仅通过 $\nabla \rho$ 的 $L^q$-范数与 $\rho \dot{u}$ 的 $L^2(0,T;L^q)$-范数控制密度的 $L^\infty$-范数？

主要发现

• 本文证明了在大初值条件下，二维可压缩 Navier-Stokes 方程存在全局强解与经典解。
• 该结果在体积粘度 $\lambda = \rho^\beta$ 且 $\beta > 1$ 的条件下成立，优于以往要求 $\beta > 3$ 或 $\beta > 4/3$ 的结果。
• 通过 $\Phi = (2\mu + \lambda(\rho))\nabla\rho$ 的输运方程，建立了密度的统一上界，这对解的全局延拓至关重要。
• 在估计 $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ 与 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 后，利用对数 Sobolev 嵌入，通过 Gronwall 不等式实现了 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 在时间上的统一有界性。
• 通过控制 $\|\nabla \text{div} u\|_{L^q}$ 与 $\|\nabla \omega\|_{L^q}$（其受 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 与 $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ 限制），推导出 $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ 的高阶估计。
• 反证法确认了解可被延拓至任意有限时间 $T^*$ 之后，从而在给定条件下证明了全局存在性。