[论文解读] Global dimension function on stability conditions and Gepner equations

Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文证明了在Dynkin型quiver的导出范畴的Bridgeland稳定性条件空间上，全局维数函数在唯一一个稳定性条件 $\sigma_G$ 处取得最小值 $1 - 2/h$，该值满足在Auslander-Reiten自同态 $\tau$ 作用下的Gepner方程 $\tau(\sigma) = (-2/h)\cdot\sigma$。对于非Dynkin型的无环quiver，全局维数的最小值为1，支持了该下确界定义了三角范畴的范畴全局维数的猜想。

ABSTRACT

We study the global dimension function $\operatorname{gldim}\colon\operatorname{Aut}\backslash\operatorname{Stab}\mathcal{D}/\mathbb{C} o\mathbb{R}_{\ge0}$ on a quotient of the space of Bridgeland stability conditions on a triangulated category $\mathcal{D}$ as well as Toda's Gepner equatio $Φ(σ)=s\cdotσ$ for some $σ\in\operatorname{Stab}\mathcal{D}$ and $(Φ,s)\in\operatorname{Aut}\mathcal{D} imes\mathbb{C}$. For the bounded derived category $\mathcal{D}^b(\mathbf{k} Q)$ of a Dynkin quiver $Q$, we show that there is a unique minimal point $σ_G$ of $\operatorname{gldim}$ (up to the $\mathbb{C}$-action), with value $1-2/h$, which is the solution of the Gepner equation $τ(σ)=(-2/h)\cdotσ$. Here $τ$ is the Auslander-Reiten functor and $h$ is the Coxeter number. This solution $σ_G$ was constructed by Kajiura-Saito-Takahashi. We also show that for an acyclic non-Dynkin quiver $Q$, the minimal value of $\operatorname{gldim}$ is $1$. Our philosophy is that the infimum of $\operatorname{gldim}$ on $\operatorname{Stab}\mathcal{D}$ is the global dimension for the triangulated category $\mathcal{D}$. We explain how this notion could shed light on the contractibility conjecture of the space of stability conditions.

研究动机与目标

• 定义并研究Bridgeland稳定性条件空间上的全局维数函数，提出其下确界作为范畴不变量。
• 研究自同构 $\Phi$ 与复数 $s$ 的Gepner方程 $\Phi(\sigma) = s \cdot \sigma$，特别是在三角范畴背景下的情形。
• 确定quiver的导出范畴上全局维数函数的最小值，特别是Dynkin型与无环非Dynkin型quiver的情形。
• 证明对于Dynkin型quiver，Gepner点 $\sigma_G$ 是在 $\mathbb{C}$-作用下唯一使全局维数函数取最小值的稳定性条件。
• 将全局维数与Gepner解与更广泛的猜想（如稳定性流形的可缩性）联系起来。

提出的方法

• 全局维数函数 $\operatorname{gldim}$ 定义为在切片 $\mathcal{P}$ 中，非零 $\operatorname{Hom}(\mathcal{P}(\phi_1), \mathcal{P}(\phi_2))$ 所对应的相位差 $\phi_2 - \phi_1$ 的上确界。
• 本文利用前期工作中的 $q$-形变框架，构造 $q$-稳定性条件，并分析其在自同构作用下的行为。
• 通过拉格朗日子流 $\mathcal{L}$ 将自同构从 $\mathcal{D}_\infty(Q)$ 提升至 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}(Q)$，从而实现 $\tau_{\mathbb{X}}^{\mathcal{L}}$ 的构造。
• 通过Auslander-Reiten自同态 $\tau$ 的作用分析Gepner方程，证明若 $\tau(\sigma_G) = e^{2\pi i/h} \cdot \sigma_G$，则有 $\tau_{\mathbb{X}}^{\mathcal{L}}(\sigma_{G,s}^{\mathcal{L}}) = (-2/h) \cdot \sigma_{G,s}^{\mathcal{L}}$。
• 证明依赖于在 $\mathcal{L}$ 下中心荷与切片的相容性，利用Gepner性质 $Z_G \circ \tau = e^{2\pi i/h} Z_G$。
• 通过稳定性流形的结构及 $\operatorname{Aut}\mathcal{D} \times \mathbb{C}$ 作用，确立 $\sigma_G$ 作为 $\operatorname{gldim}$ 的唯一最小化者。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于Dynkin型quiver的导出范畴，其稳定性条件空间上全局维数函数的最小值是多少？
• RQ2 Gepner方程 $\tau(\sigma) = (-2/h) \cdot \sigma$ 在稳定性流形中是否有唯一解？该解是否与全局维数最小化者相关？
• RQ3 对于无环非Dynkin型quiver，全局维数函数的行为如何？其下确界是多少？
• RQ4 全局维数函数的下确界能否被解释为三角范畴的范畴不变量？
• RQ5 如何通过 $q$-形变与拉格朗日子流构造满足Gepner方程的 $q$-稳定性条件？

主要发现

• 对于Dynkin型quiver $Q$ 的导出范畴 $\mathcal{D}^b(\mathbf{k}Q)$，全局维数函数在 $1 - 2/h$ 处取得最小值，其中 $h$ 为Coxeter数。
• 该最小值唯一在Gepner点 $\sigma_G$ 处取得，其满足在Auslander-Reiten自同态 $\tau$ 作用下的Gepner方程 $\tau(\sigma_G) = (-2/h) \cdot \sigma_G$。
• 对于无环非Dynkin型quiver，全局维数函数的最小值为 $1$，表明其范畴全局维数高于Dynkin情形。
• Gepner点 $\sigma_G$ 是完全稳定的，即 $\mathcal{D}^b(\mathbf{k}Q)$ 中每个非分解对象在 $\sigma_G$ 下均为稳定。
• $q$-形变的 $q$-稳定性条件 $\sigma_{G,s}^{\mathcal{L}}$ 满足Gepner方程 $\tau_{\mathbb{X}}^{\mathcal{L}}(\sigma) = (-2/h) \cdot \sigma$，其中 $\operatorname{Re}(s) \geq \operatorname{gd}_Q + 1$。
• 所有可通过可达拉格朗日子流 $\mathcal{L}'$ 构造的 $q$-稳定性条件 $\sigma_{G,s}^{\mathcal{L}'}$ 在 $\operatorname{Stab}\mathcal{D}_{\mathbb{X}}(Q)/\mathbb{C}$ 中对应同一点，确认了在 $\mathbb{C}$-作用下的唯一性。