[论文解读] Global higher integrability for minimisers of convex functionals with (p,q)-growth

Lukas Koch|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 49被引用 21

一句话总结

本文在 q < (n+α)p/n 的条件下，建立了具有 (p,q)-增长和 x 的 α- Hölder 连续依赖性的凸泛函极小元的全局 W¹,q(Ω, ℝᵐ) 正则性。通过全局差分商方法和松弛化论证，证明了在点态极小元和松弛化极小元（即 W¹,q 中弱极限意义下的极小元）情形下，均具有更高可积性和更高可微性，将局部正则性结果推广至无域几何假设和边界数据的全局边界情形。

ABSTRACT

We prove global $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$-regularity for minimisers of convex functionals of the form $\mathscr{F}(u)=\int_\Omega F(x,Du)\mathrm{d} x$. $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$ regularity is also proven for minimisers of the associated relaxed functional. Our main assumptions on $F(x,z)$ are a uniform $\alpha$-H\"older continuity assumption in $x$ and controlled $(p,q)$-growth conditions in $z$ with $q<\frac{(n+\alpha)p}{n}$.

研究动机与目标

• 建立具有 (p,q)-增长和 x 的 α- Hölder 连续依赖性的凸泛函极小元的全局 W¹,q(Ω, ℝᵐ) 正则性。
• 将局部更高可积性结果推广至全局情形，包括 Lipschitz 域的边界附近。
• 在不假设域或边界数据几何性质的前提下，证明点态极小元和松弛化极小元（在 W¹,q 中弱极限意义下）的正则性。
• 在临界阈值 q < (n+α)p/n 下，提供 (p,q)-增长和 x 的 Hölder 连续性下，局部 W¹,q_loc 正则性结果的全局类比。
• 通过松弛化论证和先验估计，证明 Lavrentiev 现象不会阻碍在给定条件下全局 W¹,q 正则性。

提出的方法

• 将 [43] 中的全局差分商方法适配于处理具有 (p,q)-增长和 x 的 α- Hölder 连续性的非自治泛函。
• 通过差分商对正则化后的 q-增长泛函建立先验估计，然后取极限以恢复原始极小元的正则性。
• 使用松弛化框架，将松弛化极小元定义为 W¹,q 中序列在 W¹,p 中的弱极限，确保松弛化泛函定义良好且下半连续。
• 应用控制收敛定理的变体，从逼近序列过渡到极限极小元，依赖于条件 (H4) 来控制 F(x, Du*φ_ε) 的增长。
• 实施截断与逼近论证，以确保极小元满足必要的可积性和收敛性性质。
• 验证关键假设 (H1)–(H3) 和 (H4) 在松弛化过程及逼近序列中保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设域的几何性质下，是否可为具有 α- Hölder 连续依赖 x 的凸 (p,q)-增长泛函极小元建立全局 W¹,q 正则性？
• RQ2 当原始泛函表现出 Lavrentiev 现象时，松弛化极小元框架是否允许实现全局更高可积性？
• RQ3 在 (p,q)-增长和 x 的 Hölder 连续性下，q 的最优阈值（以 p, n, α 表示）为何，使得全局 W¹,q 正则性成立？
• RQ4 条件 (H4)（确保局部下确界控制）在全局正则性证明中起到何种作用？
• RQ5 在适当的 Hölder 连续性下，结果能否推广至具有变指数 p(x) 或各向异性增长的泛函？

主要发现

• 在条件 q < (n+α)p/n 下，若 F(x,z) 满足 (H1)–(H3) 和 (H4)，则松弛化极小元的凸 (p,q)-增长泛函具有全局 W¹,q(Ω, ℝᵐ) 正则性。
• 对任意 0 ≤ β < α，极小元的 W¹, np/(n−β) 范数由泛函值、边界数据范数和外力范数的某次幂 γ 控制：||u||_W¹, np/(n−β) ≲ (1 + F(u) + ||g||_W¹+α,q + ||f||_Lq′)^γ。
• 证明依赖于通过差分商在全局范围内导出的先验估计，利用 [43] 中的技术处理边界项。
• Lavrentiev 现象不会阻碍全局 W¹,q 正则性，通过松弛化论证和 W¹,p 与 W¹,q 中逼近序列的收敛性得以证明。
• 当相应假设 (H1.1) 或 (H1.2) 成立时，结果可推广至具有变指数 p(x) 或各向异性增长（如 p_i(x)-增长）的泛函。
• 诸如双相泛函、各向异性 p(x)-Laplacian 及更一般的各向异性泛函等实例满足假设，因此具有全局 W¹,q 正则性。