[论文解读] Higher integrability for variational integrals with non-standard growth

Mathias Schäffner|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 38被引用 19

一句话总结

本文建立了具有非标准 (p,q)-增长的自治变分积分的更高梯度可积性与部分正则性，证明在 $n \geq 3$ 时，当 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$ 时，局部极小值属于 $W^{1,q}_{\text{loc}}$，相较于先前要求更严格条件 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n}$ 的结果实现了改进。关键创新在于通过在 $n-1$ 维球面上应用索伯列夫不等式，对 Caccioppoli 型不等式中的截断函数进行优化，从而获得更精确的可积性估计，并进一步得出部分正则性结果。

ABSTRACT

We consider autonomous integral functionals of the form $\mathcal F[u]:=\int_\Omega f(D u)\,dx$ with $u:\Omega o\mathbb R^N$ $N\geq1$, where the convex integrand $f$ satisfies controlled $(p,q)$-growth conditions. We establish higher gradient integrability and partial regularity for minimizers of $\mathcal F$ assuming $\frac{q}p<1+\frac2{n-1}$, $n\geq3$. This improves earlier results valid under the more restrictive assumption $\frac{q}p<1+\frac2{n}$.

研究动机与目标

• 在向量情形 $N > 1$ 下，建立具有非标准 (p,q)-增长的自治变分积分的局部极小值的更高梯度可积性，扩展先前针对标量情形的结果。
• 将已知的更高可积性阈值从 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n}$ 提升至 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$（$n \geq 3$），从而加强此类泛函的正则性理论。
• 在相同改进条件下证明极小值的部分正则性，表明梯度在某个全测度开子集上具有 Hölder 连续性。
• 提出一种基于优化截断函数与 $n-1$ 维球面上索伯列夫不等式的新型方法论，克服了标量情形下 Moser 迭代技术在向量情形中的局限性。

提出的方法

• 推导出涉及截断函数 $\eta$ 的 $W^{1,q}_{\text{loc}}$ 极小值的 Caccioppoli 型不等式，关键估计为 $\int \eta^2 |D(|Dv|^{p-2}/2 Dv)|^2 \lesssim \int |\nabla \eta|^2 (1 + |Dv|^q)$。
• 通过在 $n-1$ 维球面上利用索伯列夫不等式，对截断函数 $\eta$ 的选择进行优化，从而获得超越经典 $n$ 维尺度的更优可积性估计。
• 应用正则化与逼近程序，将 $W^{1,q}_{\text{loc}}$ 极小值的结果从 $W^{1,q}_{\text{loc}}$ 极小值推广至 $W^{1,1}_{\text{loc}}$ 中的一般局部极小值。
• 利用更高可积性结果推导出更高可微性：$|\nabla u|^{p-2}/2 \nabla u \in W^{1,2}_{\text{loc}}$。
• 通过缩放和分析极小值的爆破序列，建立 $\varepsilon$-正则性结果（引理 4），表明梯度的小振幅意味着能量过剩的改进衰减。
• 将 $\varepsilon$-正则性结果与标准迭代论证相结合，证明梯度在全测度集上具有部分 $C^{0,\alpha}$ 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在向量情形 $N > 1$ 下，是否可以将极小值更高可积性的阈值 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n}$ 提升至 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$？
• RQ2 改进后的可积性阈值 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$ 是否意味着极小值的部分正则性，且梯度在全测度集上具有 Hölder 连续性？
• RQ3 能否利用优化截断函数与 $n-1$ 维索伯列夫不等式的结合方法，克服标量 Moser 迭代技术在向量情形中的局限性？
• RQ4 条件 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$ 对于向量情形下的更高可积性与部分正则性是否为最优？

主要发现

• 主要结果表明，对于任意局部极小值 $u \in W^{1,1}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^N)$，在泛函 $F[u] = \int_\Omega f(Du)\,dx$ 下，当 $n \geq 3$ 且 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$ 时，有 $u \in W^{1,q}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^N)$，优于先前的阈值 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n}$。
• 获得更高可微性：$|\nabla u|^{p-2}/2 \nabla u \in W^{1,2}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^{N \times n})$，该结论由更高可积性与 Caccioppoli 不等式推出。
• 通过索伯列夫嵌入得到改进的更高可积性：$\nabla u \in L^{\kappa p}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^{N \times n})$，其中 $\kappa = \frac{n}{n-2}$，且当 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-2}$ 时有 $\kappa p > q$，而此条件在主条件下成立。
• 证明了部分正则性：存在集合 $\Omega_0 \subset \Omega$ 满足 $|\Omega \setminus \Omega_0| = 0$，使得对任意 $0 < \alpha < 1$，有 $\nabla u \in C^{0,\alpha}(\Omega_0, \mathbb{R}^{N \times n})$，条件仍为 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$。
• 证明方法依赖于在 Caccioppoli 不等式中对截断函数的创新性优化，使得能够利用 $n-1$ 维球面上的索伯列夫不等式，从而获得改进后的阈值。
• 结果表明，条件 $\frac{q}{p} < 1 + \frac{2}{n-1}$ 是最优的，因为它与标量情形 $N=1$ 下梯度局部有界的已知最优条件一致，暗示了本结果的最优性。