[论文解读] Global ill-posedness for a dense set of initial data to the Isentropic system of gas dynamics

Robin Ming Chen, Alexis Vasseur+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 7

一句话总结

该论文通过证明：对于能量空间中一个稠密子集中的任意初始数据，当 $ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ 时，二维和三维等熵欧拉系统均存在无穷多组全局可接受的弱解，从而建立了该系统的全局不适定性。该结果将 Székelyhidi–Wiedemann 提出的不可压缩流非唯一性框架扩展至可压缩流，采用了一种广义凸积分方法，能够处理光滑正的雷诺应力。

ABSTRACT

In dimension $n=2$ and $3$, we show that for any initial datum belonging to a dense subset of the energy space, there exist infinitely many global-in-time admissible weak solutions to the isentropic Euler system whenever $1

研究动机与目标

• 建立二维和三维等熵欧拉系统存在无穷多组全局可接受弱解。
• 在 $ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ 的约束下，将凸积分框架从不可压缩流扩展至可压缩流。
• 证明生成非唯一解的初始数据集合在能量空间 $ L^\gamma \times L^{2\gamma/(\gamma+1)} $ 中是稠密的。
• 构建一种广义凸积分方案，能够处理可压缩状态下的光滑正雷诺应力。

提出的方法

• 将凸积分中的关键步骤进行推广，以允许处理可压缩欧拉系统中的光滑正雷诺应力。
• 通过退化可压缩纳维-斯托克斯系统弱粘性极限的正则化构造能量相容的次解。
• 应用改进的光滑化过程，生成与任意给定能量空间数据任意接近的初始数据。
• 使用能量不等式的积分形式作为弱解可接受性的判定准则。
• 采用两步凸积分过程：首先在 $[0,T]$ 上生成雷诺应力为零的次解，然后通过光滑化得到具有受控初始数据的新次解。
• 应用定理 5.1 对精炼后的次解进行凸积分，生成无穷多组能量递减的全局弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在二维和三维可压缩等熵欧拉系统中建立全局弱解的非唯一性？
• RQ2 在相同 $ \gamma $ 范围下，为不可压缩流开发的凸积分方法是否可扩展至可压缩情形？
• RQ3 对于 $ \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $，导致多重全局解的初始数据集合在能量空间中是否稠密？
• RQ4 在可压缩设定下，能否对光滑正雷诺应力进行凸积分，从而实现无穷多组解的构造？
• RQ5 能量不等式在可压缩状态下确保可接受性与非唯一性的角色是什么？

主要发现

• 对于能量空间中稠密子集中的任意初始数据，当 $ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ 时，等熵欧拉系统均存在无穷多组全局可接受弱解。
• 该结果在 $ n=2 $ 和 $ n=3 $ 时均成立，包括浅水（$ \gamma=2 $）和单原子气体（$ \gamma=5/3 $）等物理上合理的案例。
• 该构造确保初始数据可被选取为与任意给定 $ (\varrho^0, U^0) $ 在 $ L^\gamma \times L^2 $ 类型拓扑下任意接近。
• 解的能量随时间非增，且上界不超过初始能量，满足能量不等式的积分形式。
• 该方法可从单一初始数据生成无穷多组解，展示了弱解类中强烈的非唯一性。
• 关键技术进展在于将凸积分推广至可压缩情形，允许处理光滑正雷诺应力，从而能够构造出一大类次解。