[论文解读] Global pluripotential theory over a trivially valued field

Sébastien Boucksom, Mattias Jönsson|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 110被引用 5

一句话总结

本文利用伯克维奇几何，在平凡赋值域上的射影代数簇上建立了全局的全纯势能理论，引入了有限能量函数与测度，并定义了非阿基米德Monge–Ampère算子。主要贡献是针对环面簇的非阿基米德Calabi–Yau定理，将能量泛函与在矩量多面体上的Legendre变换和最优传输联系起来。

ABSTRACT

We develop global pluripotential theory in the setting of Berkovich geometry over a trivially valued field. Specifically, we define and study functions and measures of finite energy and the non-Archimedean Monge-Ampere operator on any (possibly reducible) projective variety. We also investigate the topology of the space of valuations of linear growth, and the behavior of psh functions thereon.

研究动机与目标

• 通过伯克维奇空间，将全息势能理论从复几何推广到平凡赋值域上的非阿基米德几何。
• 在射影代数簇（包括可能的不可约代数簇）上定义并研究有限能量函数与测度。
• 通过能量泛函与Monge–Ampère测度，建立非阿基米德Calabi–Yau定理的类比。
• 分析线性增长赋值空间的拓扑结构，以及其上psh函数的行为。
• 通过伯克维奇解析化上的分段线性函数，将理论与K-稳定性及测试配置联系起来。

提出的方法

• 在平凡赋值域上射影代数簇 $X$ 的伯克维奇解析化 $X^{\mathrm{an}}$ 上定义全纯次调和（psh）函数。
• 通过扩展能量泛函及其可微性，引入能量配对与有限能量类 $\mathcal{E}^1$。
• 利用混合Monge–Ampère乘积，为 $\omega$-psh 函数 $\varphi$ 构造非阿基米德Monge–Ampère测度 $\operatorname{MA}_\omega(\varphi)$。
• 利用重影映射 $\rho: X^{\mathrm{val}} \to N_{\mathbb{R}}$，将环面簇上 $T(k)$-不变的psh函数与矩量多面体上的凸函数联系起来。
• 应用Legendre对偶性，将 $\mathcal{E}^1$-函数识别为多面体 $P$ 上的 $L^1$-可积Legendre变换。
• 通过Monge–Kantorovich对偶性建立非阿基米德Calabi–Yau定理，将能量与 $N_{\mathbb{R}} \times P$ 上的最优传输成本联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将全息势能理论推广到平凡赋值域上的非阿基米德几何？
• RQ2 线性增长赋值空间的结构是怎样的？其上psh函数的行为如何？
• RQ3 在此设定下，有限能量函数与测度应如何定义与表征？
• RQ4 在环面簇的背景下，非阿基米德Calabi–Yau定理的类比是什么？
• RQ5 在矩量多面体上的最优传输如何与能量泛函及Monge–Ampère测度相关联？

主要发现

• 一个 $\omega$-psh 函数 $\varphi$ 的非阿基米德Monge–Ampère测度为 $\operatorname{MA}_\omega(\varphi) = V_P^{-1} \iota_* \operatorname{MA}_{\mathbb{R}}(f_\varphi)$，其中 $f_\varphi$ 是与 $\varphi$ 关联的 $N_{\mathbb{R}}$ 上的凸函数。
• 一个 $T(k)$-不变的 $\omega$-psh 函数 $\varphi$ 属于 $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$ 当且仅当其Legendre变换 $f_\varphi^\vee$ 属于 $L^1(P)$。
• $\varphi_i \to \varphi$ 在 $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$ 中收敛，当且仅当 $f_{\varphi_i}^\vee \to f_\varphi^\vee$ 在 $L^1(P)$ 中收敛。
• 在 $v \in N_{\mathbb{R}}$ 处的Dirac测度 $\delta_v$ 的能量等于最优传输成本 $\mathrm{C}_P(\delta_v) = f_P(v) - \langle v, u_P \rangle$，其中 $u_P$ 是多面体 $P$ 的质心。
• 对偶能量泛函 $\operatorname{E}^\vee_\omega(\mu)$ 等于最优传输成本 $\mathrm{C}_P(\mu)$，从而建立了能量与传输成本之间的对偶性。
• 非阿基米德Calabi–Yau定理成立：对 $N_{\mathbb{R}}$ 上任意概率测度 $\mu$，Monge–Ampère方程的解对应于最小化传输成本 $\mathrm{C}_P(\mu)$ 的解。