[论文解读] Global smooth and topological rigidity of hyperbolic lattice actions

Aaron Brown, Federico Rodriguez Hertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文建立了在紧致幂零流形上对双曲格子作用的全局光滑与拓扑刚性。证明了在双曲线性数据或阿诺索夫动力系统下，存在连续半共轭（若光滑且为阿诺索夫，则为 $C^\infty$ 共轭），从而对高阶半单李群的余紧格子以及 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 在 $\mathbb{T}^n$ 上的作用（$n \geq 5$）实现了 $C^\infty$ 全局刚性。

ABSTRACT

In this article we prove global rigidity results for hyperbolic actions of higher-rank lattices. Suppose $Γ$ is a lattice in semisimple Lie group, all of whose factors have rank $2$ or higher. Let $α$ be a smooth $Γ$-action on a compact nilmanifold $M$ that lifts to an action on the universal cover. If the linear data $ρ$ of $α$ contains a hyperbolic element, then there is a continuous semiconjugacy intertwining the actions of $α$ and $ρ$, on a finite-index subgroup of $Γ$. If $α$ is a $C^\infty$ action and contains an Anosov element, then the semiconjugacy is a $C^\infty$ conjugacy. As a corollary, we obtain $C^\infty$ global rigidity for Anosov actions by cocompact lattices in semisimple Lie group with all factors rank $2$ or higher. We also obtain global rigidity of Anosov actions of $\mathrm{SL}(n,\mathbb Z)$ on $\mathbb T^n$ for $ n\geq 5$ and probability-preserving Anosov actions of arbitrary higher-rank lattices on nilmanifolds.

研究动机与目标

• 建立在具有双曲或阿诺索夫动力系统的紧致幂零流形上，对高阶格子作用的全局拓扑与光滑刚性。
• 证明此类作用与线性数据之间存在半共轭（在光滑情形下为共轭），以扩展齐默纲领的猜想。
• 通过缺陷泛函的上同调消去，解决幂零流形上作用的提升问题。
• 建立对高阶半单李群中余紧格子的阿诺索夫作用的 $C^\infty$ 全局刚性。
• 证明对 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 在 $\mathbb{T}^n$ 上的作用（$n \geq 5$）以及对幂零流形上保持概率测度的阿诺索夫作用的刚性。

提出的方法

• 通过近似共轭与对中心缺陷的控制，构造作用 $\alpha$ 与其线性数据 $\rho$ 之间的连续半共轭。
• 利用提升性质与 $\pi_1$-因子，将问题约化为具有受控缺陷泛函的幂零群作用。
• 定义缺陷泛函 $\beta_i(\gamma_1, \gamma_2)$，用于度量提升的非交换性，取值于 $Z_i \cap \Lambda_i$。
• 通过在不变测度上积分，证明 $d_{\rho_i,1}\eta = \beta_i$，从而在上同调 $H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 中使缺陷泛函消失。
• 转至有限指数子群 $\hat{\Gamma}$ 以实现作用的协调提升，从而构造出半共轭。
• 应用上同调超刚性与轨道闭包结果，控制动力系统并确保共轭的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，幂零流形上的光滑格子作用可与线性数据实现 $C^\infty$ 共轭？
• RQ2 在何种条件下，幂零流形上的双曲格子作用可与线性表示实现连续半共轭？
• RQ3 能否通过缺陷泛函的上同调消去来解决幂零流形作用的提升障碍？
• RQ4 对 $n \geq 5$ 的 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 在 $\mathbb{T}^n$ 上的作用，其全局刚性类为何？
• RQ5 对任意高阶格子在幂零流形上保持概率测度的阿诺索夫作用，是否具有 $C^\infty$ 全局刚性？

主要发现

• 对于具有双曲线性数据的紧致幂零流形上的光滑 $\Gamma$-作用，存在到 $\Gamma$ 的有限指数子群上的线性作用的连续半共轭。
• 若作用为 $C^\infty$ 且包含一个阿诺索夫元素，则该半共轭成为 $C^\infty$ 共轭。
• 在通过有限指数子群后，缺陷泛函 $\beta_i$ 在 $H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 中消失，从而实现作用的协调提升。
• 对所有因子秩 $\geq 2$ 的半单李群中余紧格子的阿诺索夫作用，$C^\infty$ 全局刚性成立。
• 本文建立了对 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 在 $\mathbb{T}^n$ 上的作用（$n \geq 5$）的 $C^\infty$ 全局刚性。
• 对任意高阶格子在幂零流形上保持概率测度的阿诺索夫作用，均具有 $C^\infty$ 全局刚性。