[论文解读] Global Strong Solutions for 3D Viscous Incompressible Heat Conducting Navier-Stokes Flows with Non-negative Density

Xin Zhong|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文证明了三维粘性、不可压缩、热传导型非齐次Navier-Stokes方程在非负密度（包括真空）条件下的全局强解的存在性。通过应用精细的能量估计，并结合Stokes系统与椭圆方程的正则性性质，证明了在速度满足Serrin型条件且初始数据满足小量假设时，全局解的存在性。

ABSTRACT

We are concerned with an initial boundary value problem for the nonhomogeneous heat conducting Navier-Stokes flows with non-negative density. First of all, we show that for the initial density allowing vacuum, the strong solution exists globally if the velocity satisfies the Serrin's condition. Then, under some smallness condition, we prove that there is a unique global strong solution to the 3D viscous nonhomogeneous heat conducting Navier-Stokes flows. Our method relies upon the delicate energy estimates and regularity properties of Stokes system and elliptic equation.

研究动机与目标

• 研究三维非齐次热传导型Navier-Stokes方程在非负密度条件下的全局强解存在性。
• 分析初始密度可能为零（即允许真空）的情况。
• 在速度场满足Serrin型可积性条件的假设下，建立全局解的存在性。
• 在初始数据满足小量条件时，证明解的唯一性与全局存在性。

提出的方法

• 通过精细的能量估计控制Navier-Stokes方程中的非线性项。
• 利用Stokes系统的正则性性质处理速度与压力分量。
• 应用椭圆方程的正则性理论处理温度与压力方程。
• 使用先验估计统一有界地控制解的范数。
• 通过Galerkin逼近与小量假设下的极限过程建立解的存在性。
• 结合Serrin型条件与小初始数据，确保全局解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三维非齐次热传导型Navier-Stokes方程在真空条件下存在全局强解？
• RQ2 当密度非负且可能为零时，速度的Serrin条件是否能保证全局解的存在性？
• RQ3 初始数据需满足何种小量条件，才能确保存在唯一的全局强解？

主要发现

• 若速度满足Serrin条件，则三维粘性、不可压缩、热传导型Navier-Stokes方程在非负密度条件下存在全局强解。
• 在初始数据满足适当小量假设时，存在唯一的全局强解。
• 该方法依赖于能量估计以及Stokes系统与椭圆方程的正则性结果。
• 即使初始密度在某些区域为零（即允许真空），分析结果依然成立。
• 在给定条件下，解保持强解性质且全局定义，确保了解的正则性与唯一性。