[论文解读] Global Strong Solutions to Incompressible Nematic Liquid Crystal Flow

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文在二维和三维有界光滑区域中，针对初始数据范数较小甚至允许存在真空的情况，建立了不可压缩向列型液晶流的强解的全局存在性与唯一性。通过为局部强解导出与时间无关的先验估计，作者克服了真空存在和取向场各向异性效应带来的解可能爆破的挑战，将解全局延拓至整个时间区间。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Dirichlet problem of inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal equations in bounded smooth domains of two or three dimensions. We prove the global existence and uniqueness of strong solutions with initial data being of small norm but allowed to have vacuum. More precisely, for two dimensional case, we only require that the basic energy $|\sqrt{ρ_0}u_0|_{L^2}^2+| abla d_0|_{L^2}^2$ is small, while for three dimensional case, we ask for the smallness of the production of the basic energy and the quantity $| abla u_0|_{L^2}^2+| abla^2d_0|_{L^2}^2$. Our efforts mainly center on the establishment of the time independent a priori estimate on local strong solutions. Taking advantage of such a priori estimate, we extend the local strong solution to the whole time, obtaining the global strong solution.

研究动机与目标

• 在有界光滑区域中，建立不可压缩向列型液晶系统强解的全局存在性与唯一性。
• 解决初始数据中存在真空所带来的强解分析复杂性问题。
• 通过与时间无关的先验估计，将局部强解延拓为全局解。
• 通过能量估计与正则性估计处理速度场与取向场之间的各向异性耦合。
• 为二维与三维情形提供统一的框架，其中初始数据的条件具有不同的小性要求。

提出的方法

• 利用能量法与Sobolev嵌入，为局部强解导出与时间无关的先验估计。
• 应用Gronwall不等式，控制关键能量范数随时间的增长。
• 利用Ericksen-Leslie系统的结构，特别是Navier-Stokes方程与取向场调和映射热方程之间的耦合关系。
• 对速度场与取向场采用$L^2$与$H^1$能量估计，对涉及$\nabla d \odot \nabla d$的非线性项进行细致处理。
• 引入相对能量框架，通过与参考状态的比较来证明唯一性。
• 应用Poincaré不等式与Hölder不等式，控制高阶范数并闭合能量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维与三维有界区域中，对于初始数据范数较小且可能包含真空的不可压缩向列型液晶系统，全局强解是否存在？
• RQ2 在二维与三维中，初始数据的何种小性条件足以保证强解的全局存在性？
• RQ3 如何为局部强解建立与时间无关的先验估计，以实现其全局延拓？
• RQ4 各向异性应力项$\text{div}(\nabla d \odot \nabla d)$在解的正则性与长时间行为中起什么作用？
• RQ5 在相同小性假设下，全局强解的唯一性是否得到保证？

主要发现

• 在二维情形，若初始基本能量$\|\sqrt{\rho_0}u_0\|_{L^2}^2 + \|\nabla d_0\|_{L^2}^2$足够小，则全局强解存在。
• 在三维情形，当基本能量与$\|\nabla u_0\|_{L^2}^2 + \|\nabla^2 d_0\|_{L^2}^2$的乘积满足小性条件时，全局强解存在。
• 作者建立了与时间无关的先验估计，使得局部强解可被延拓至整个时间区间$[0, \infty)$。
• 通过相对能量比较与Gronwall不等式，证明了全局强解的唯一性。
• 该方法在初始密度$\rho_0$允许存在真空（即在正测度集合上$\rho_0 = 0$）时依然适用。
• 证明依赖于通过Sobolev嵌入与$L^p$估计对非线性项进行精细控制，确保能量范数在时间上一致有界。