[论文解读] Goresky-Pardon extensions of Chern classes and associated Tate extensions

Eduard Looijenga|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了复流形的开层 stratification 上的全纯向量丛的陈类扩展至完整上同调的几何条件，且其霍奇层级至少为 k。对于局部对称流形的 Baily-Borel 紧化及其自守丛，本文恢复并改进了 Goresky-Pardon 的扩展定理，并进一步证明第 k 个陈类的扩展具有非零虚部，当 X 为 A_g 的 Satake 紧化且 g ≫ k 时，通过 Beilinson 上同调算子可得到一个基本的 Tate 扩张。

ABSTRACT

Let X be an irreducible complex variety, S a stratification of X and F a holomorphic vector bundle on the open statum. We give geometric conditions on S and F that produce a natural extension of the k-th Chern class F as a class in the complex cohomology of X of Hodge level at least k. When X is the Baily-Borel compactification of a locally symmetric variety with its stratification by boundary components, and F an automorphic bundle on its interior, then this recovers and refines a theorem of Goresky-Pardon. In passing we define a class of simplicial resolutions of the Baily-Borel compactification that can be used to define its mixed Hodge structure. Finally, we use the Beilinson regulator for the rationals to show that when X is the Satake (=Baily-Borel) compactification of A_g and F the Hodge bundle (with g large compared to k), the Goresky-Pardon k-th Chern class extension has nonzero imaginary part and gives rise to a basic Tate extension.

研究动机与目标

• 定义在复流形 X 的开层 stratification 上，全纯向量丛的第 k 个陈类扩展至 H^*(X, ℂ) 且霍奇层级至少为 k 的几何条件。
• 推广并改进 Baily-Borel 紧化下局部对称流形自守丛的 Goresky-Pardon 扩展定理。
• 构造 Baily-Borel 紧化的单纯化解析，以定义其混合霍奇结构。
• 利用 Beilinson 上同调算子，证明 A_g 的 Satake 紧化上 Hodge 向量丛第 k 个陈类的 Goresky-Pardon 扩展具有非零虚部。
• 证明该非平凡扩展在 g 相对于 k 足够大时，可导出一个基本的 Tate 扩张。

提出的方法

• 在分层 S 和开层上的全纯向量丛 F 上引入几何条件，以确保第 k 个陈类在 H^*(X, ℂ) 中的霍奇层级至少为 k。
• 构造 Baily-Borel 紧化的单纯化解析，以定义其混合霍奇结构，从而支持上同调计算。
• 在 A_g 的 Satake 紧化情形下，对 Goresky-Pardon 扩展的第 k 个陈类应用 Beilinson 上同调算子（针对 ℚ）。
• 通过上同调算子映射分析扩展陈类的虚部，证明当 g ≫ k 时其非零。
• 利用虚部非零的性质，构造一个基本的 Tate 扩张，从而建立算术几何与霍奇理论之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分层 S 和开层上的全纯向量丛 F 满足何种几何条件时，第 k 个陈类可扩展至 H^*(X, ℂ) 且霍奇层级至少为 k？
• RQ2 在局部对称流形的 Baily-Borel 紧化背景下，如何推广或改进 Goresky-Pardon 扩展定理？
• RQ3 能否利用单纯化解析来定义局部对称流形 Baily-Borel 紧化的混合霍奇结构？
• RQ4 Beilinson 上同调算子是否能检测出 A_g 的 Satake 紧化上陈类 Goresky-Pardon 扩展中的非平凡算术信息？
• RQ5 在 A_g 上，Hodge 向量丛第 k 个陈类的 Goresky-Pardon 扩展在何种条件下可导出一个基本的 Tate 扩张？

主要发现

• 在指定的分层 S 和向量丛 F 的几何条件下，复流形 X 的开层上全纯向量丛 F 的第 k 个陈类可扩展至 H^*(X, ℂ)，且其霍奇层级至少为 k。
• 对于具有自守丛的局部对称流形的 Baily-Borel 紧化，该构造恢复并改进了 Goresky-Pardon 的扩展定理。
• 定义了 Baily-Borel 紧化的单纯化解析，并用于构造其混合霍奇结构。
• 在 A_g 的 Satake 紧化上，当 g 相对于 k 足够大时，Hodge 向量丛第 k 个陈类的 Goresky-Pardon 扩展具有非零虚部。
• 通过 Beilinson 上同调算子，扩展陈类的虚部非零，从而导出一个基本的 Tate 扩张。
• 该结果在 Beilinson 上同调算子的算术性质与模空间中特征类的霍奇理论扩展之间建立了直接联系。