[论文解读] Governing fields and statistics for 4-Selmer groups and 8-class groups

Alexander Smith|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文在大黎曼猜想成立的假设下，证明了具有全 rational 2-挠的椭圆曲线的二次 twists 的 4- Selmer 群遵循 Delaunay 的启发式预测的分布。类似地，虚二次域的 8-类群遵循 Cohen-Lenstra 分布。其关键机制涉及控制域以及 Legendre 符号分布的统计控制，表明非典型配置的密度为零，且矩收敛到平凡值。

ABSTRACT

Taking A to be an abelian variety with full 2-torsion over a number field k, we investigate how the 4-Selmer rank of the quadratic twist A^d changes with d. We show that this rank depends on the splitting behavior of the primes dividing d in a certain number field L/k. Assuming the grand Riemann hypothesis, we then prove that, given an elliptic curve E/Q with full rational 2-torsion, the quadratic twist family of E usually has the distribution of $4$-Selmer groups predicted by Delaunay's heuristic. Analogously, and still subject to the grand Riemann hypothesis, we prove that the set of quadratic imaginary fields has the distribution of 8-class groups predicted by the Cohen-Lenstra heuristic.

研究动机与目标

• 理解具有全 rational 2-挠的椭圆曲线的二次 twists 家族中 4-Selmer 群的分布。
• 通过分析虚二次域的 8-类群，将 Cohen-Lenstra 启发式扩展到类群的 2-主分量。
• 证明二次 twists 的 4-Selmer 亏格依赖于特定数域 L/k 中素数的分裂行为。
• 证明 4-Selmer 与 4-类群结构中的非典型配置具有渐近密度为零，从而实现向预期分布的收敛。

提出的方法

• 本文使用控制域 L/k 来确定 A^(d) 的 4-Selmer 亏格如何依赖于整除 d 的素数的分裂行为。
• 应用 BKLPR 启发式处理 p-进 Selmer 群，将 4-Selmer 群建模为 ℤ₂ 上随机交错矩阵的余核。
• 分析判别式与 twists 家族中 Legendre 符号的分布，表明在极限下，非典型的 Selmer 与类群子空间的矩为平凡值。
• 改编 Kane 关于 2-Selmer 群矩的论证，利用 (ℚ×/(ℚ×)²)⊕³ 中元组空间上的非退化交错配对。
• 证明在 S_{N,r,D} 上 |W_ng|·|W'_ng| 的平均值为 1，意味着非典型子空间的分布为平凡。
• 证明 2(𝒞lK[4]) 与 Sel^(2)(E^(d))/E^(d)[2] 的极限分布与预期启发式一致，通过证明矩的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 GRH 下，具有全 2-挠的椭圆曲线的二次 twists 的 4-Selmer 群是否遵循 Delaunay 的启发式分布？
• RQ2 虚二次域的 8-类群是否遵循 Gerth 扩展后的 p=2 的 Cohen-Lenstra 分布？
• RQ3 控制域 L/k 中素数的分裂行为如何决定二次 twists 的 4-Selmer 亏格？
• RQ4 4-Selmer 群与 4-类群中非典型配置的渐近密度是多少？
• RQ5 能否证明 4-Selmer 与 4-类群结构中非典型子空间的矩收敛到平凡值？

主要发现

• 在大黎曼猜想成立的假设下，具有全 rational 2-挠的椭圆曲线的二次 twists 的 4-Selmer 群遵循 Delaunay 启发式所预测的分布。
• 在相同假设下，虚二次域的 8-类群遵循 Gerth 扩展后的 p=2 的 Cohen-Lenstra 分布。
• 在 Legendre 符号分布的极限下，4-Selmer 群中非典型配置（由具有共同分量的无分歧元素定义）的渐近密度为零。
• 随着素数数量的增加，2-Selmer 群中非典型子空间 W_ng 与 W'_ng 的大小矩收敛到 1，意味着其分布为平凡。
• 在 S_{N,r,D} 上 |W_ng|·|W'_ng| 的平均值为 1，这意味着这些子空间在极限下的分布为平凡。
• 在所有判别式上，2(𝒞lK[4]) 的极限分布与预期启发式一致，因为非典型配置不影响极限矩。