[论文解读] Graded C*-algebras, graded K-theory, and twisted P-graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用 5

一句话总结

本文利用 Kasparov 理论，提出了一套用于计算 C*-代数的分级 K-理论的框架，引入了 Pimsner 的六项精确序列的分级版本，以及针对 ℤ-分等级的 Pimsner–Voiculescu 序列。通过从 P-图到 ℤ₂ 的函子和 2-上循环，定义了扭曲的 P-图 C*-代数，证明了此类代数的分级张量积对应于 P-图的笛卡尔积，并应用该工具计算了在 ℤ₂-分等级下行有限 1-图 C*-代数的分级 K-理论，得出 K₀^gr = ℤ₂² 且 K₁^gr = 0。

ABSTRACT

We develop methods for computing graded K-theory of C*-algebras as defined in terms of Kasparov theory. We establish graded versions of Pimsner's six-term sequences for graded Hilbert bimodules whose left action is injective and by compacts, and a graded Pimsner-Voiculescu sequence. We introduce the notion of a twisted P-graph C*-algebra and establish connections with graded C*-algebras. Specifically, we show how a functor from a P-graph into the group of order two determines a grading of the associated C*-algebra. We apply our graded version of Pimsner's exact sequence to compute the graded K-theory of a graph C*-algebra carrying such a grading.

研究动机与目标

• 通过 Kasparov KK-理论开发用于 C*-代数分级 K-理论的计算工具。
• 将 Pimsner 的六项精确序列推广至具有内射紧致左作用的希尔伯特双模的分级情形。
• 定义扭曲的 P-图 C*-代数，并通过规范不变唯一性与半直积分解建立其结构。
• 证明从 P-图到 ℤ₂ 的 ℤ₂-取值函子可诱导其关联 C*-代数的分等级，且分级张量积对应于 P-图的笛卡尔积。
• 利用所开发的工具计算在 ℤ₂-分等级下行有限 1-图 C*-代数的分级 K-理论。

提出的方法

• 将分级 K-理论定义为 graded C*-代数 A 的 KK(ℂ, A)，对 K₁^gr 使用第一个复 Clifford 代数。
• 为具有内射紧致左作用的希尔伯特双模建立 Pimsner 六项精确序列的分级版本。
• 通过将扭曲 k-图代数推广至 P-图和 ℤ₂-取值函子，引入扭曲的 P-图 C*-代数。
• 证明若 P = ℕᵏ × F 且 F 为阿贝尔群，则每个 P-图均为 k-图与 F 的半直积。
• 从 P-图函子到 ℤ₂ 和 ℤ₂-取值 2-上循环，构建扭曲分级 C*-代数的普遍描述。
• 证明两个扭曲 P-图代数的分级张量积同构于自然上循环和函子下的 P×Q-图的扭曲 C*-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Kasparov 理论与推广的 Pimsner 序列来计算 C*-代数的分级 K-理论？
• RQ2 扭曲 P-图 C*-代数的结构是什么？它们与分级 C*-代数有何关系？
• RQ3 从 P-图到 ℤ₂ 的 ℤ₂-取值函子如何诱导其关联 C*-代数的分等级？
• RQ4 能否将分级 C*-代数的分级张量积实现为扭曲 P-图代数？
• RQ5 在由到 ℤ₂ 的函子诱导的 ℤ₂-分等级下，行有限 1-图 C*-代数的分级 K-理论是什么？

主要发现

• C*-代数的分级 K-理论在通过奇自伴酉元共轭作用对分等级进行微扰下保持不变。
• 为 ℤ-分等级建立了分级 Pimsner–Voiculescu 序列，将经典 Pimsner–Voiculescu 序列推广至分级情形。
• 由度函子诱导的分等级下的 C*(Z₂) 同构于第一个复 Clifford 代数 ℂℓ₁。
• 当 P = ℕᵏ × ℤ₂ˡ 时，关联的具有自然函子与上循环的扭曲 P-图 C*-代数具有普遍描述。
• 两个扭曲 P-图代数的分级张量积同构于自然函子与上循环下的 P×Q-图的扭曲 C*-代数。
• 对于无源的行有限 1-图 E，其在由度函子诱导的 ℤ₂-分等级下的分级 K-理论为 K₀^gr = ℤ₂² 且 K₁^gr = 0。