[论文解读] Gradient recovery for elliptic interface problem: I. body-fitted mesh

Hailong Guo, Xu Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型浸入梯度恢复方法，用于拟合体网格上的椭圆界面问题，克服了由于界面处解的不规则性导致标准恢复技术失效的问题。通过在界面分割的每个子域上局部应用多项式保持恢复（PPR），该方法实现了超收敛，并提供了渐近精确的后验误差估计器，理论分析与在轻微非结构化及自适应网格上的数值实例验证了其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel gradient recovery method for elliptic interface problem using body-fitted mesh in two dimension. Due to the lack of regularity of solution at interface, standard gradient recovery methods fail to give superconvergent results, and thus will lead to overrefinement when served as a posteriori error estimator. This drawback is overcome by designing an immersed gradient recovery operator in our method. We prove the superconvergence of this method for both mildly unstructured mesh and adaptive mesh, and present several numerical examples to verify the superconvergence and its robustness as a posteriori error estimator.

研究动机与目标

• 解决由于界面处解的全局正则性不足，导致标准梯度恢复方法在椭圆界面问题中无法实现超收敛的问题。
• 开发一种即使在解缺乏全局光滑性时仍保持超收敛的梯度恢复方案。
• 为自适应有限元方法在界面问题中构建一种鲁棒且渐近精确的后验误差估计器。
• 将超收敛理论扩展至轻微非结构化及自适应加密的拟合体网格。

提出的方法

• 设计一种浸入梯度恢复算子，对界面所定义的每个子域分别应用多项式保持恢复（PPR）。
• 对于远离界面的节点使用标准PPR；对于邻接界面的节点，仅使用每个子域内的采样点，通过最小二乘法拟合二次多项式。
• 为每个界面节点构造两个不同的梯度近似，以反映解在界面处的不可微性。
• 利用先前工作中获得的超接近结果，在较弱的非结构化网格假设下建立超收敛性。
• 利用[41]中的实际假设与超接近估计，证明在自适应加密网格上的超收敛性。
• 基于恢复的梯度推导出一种恢复型后验误差估计器，确保渐近精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解缺乏全局正则性时，梯度恢复方法是否仍能在椭圆界面问题中实现超收敛？
• RQ2 子域局部PPR方法是否能克服标准恢复技术在界面问题中的局限性？
• RQ3 所提出的梯度恢复算子是否在轻微非结构化的拟合体网格上实现超收敛？
• RQ4 该方法是否能在自适应加密网格上保持超收敛并提供渐近精确的后验误差估计器？
• RQ5 在奇异性界面问题中，基于恢复的误差估计器相较于经典估计器在鲁棒性与精度方面表现如何？

主要发现

• 所提出的浸入梯度恢复方法在轻微非结构化及自适应加密的拟合体网格上均实现了超收敛。
• 数值结果表明，在均匀网格上，当β⁻ = 1000和β⁻ = 10000时，能量误差的超收敛率为O(N^0.95)。
• 在奇异性存在的情况下，该方法实现了理论预测的最优收敛率O(N^{-0.5})。
• 后验误差估计器的有效指数在数值测试中始终接近1，证实了其在均匀网格与自适应网格上的渐近精确性。
• 基于恢复的误差估计器能有效捕捉奇异性而不过度加密，在自适应加密中优于经典的SPR与PPR估计器。
• 在Kellogg问题中，尽管解的全局正则性较低（u ∈ H^{1+ε}），该估计器仍保持鲁棒性，即使不具备渐近精确性，也表现出实际可靠性。