[论文解读] Grammar Logics in Nested Sequent Calculus: Proof Theory and Decision Procedures

Alwen Tiu, Egor Ianovski+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于含逆关系的语法逻辑的嵌套序列演算框架，支持语法切消去，并提出了一种基于深层推理的新型半决策程序，用于上下文无关语法逻辑。研究证明，当语法为正规时，该程序可终止，从而在无需显式输入有限状态自动机的情况下，提供一种决策程序。

ABSTRACT

A grammar logic refers to an extension to the multi-modal logic K in which the modal axioms are generated from a formal grammar. We consider a proof theory, in nested sequent calculus, of grammar logics with converse, i.e., every modal operator [a] comes with a converse. Extending previous works on nested sequent systems for tense logics, we show all grammar logics (with or without converse) can be formalised in nested sequent calculi, where the axioms are internalised in the calculi as structural rules. Syntactic cut-elimination for these calculi is proved using a procedure similar to that for display logics. If the grammar is context-free, then one can get rid of all structural rules, in favor of deep inference and additional propagation rules. We give a novel semi-decision procedure for context-free grammar logics, using nested sequent calculus with deep inference, and show that, in the case where the given context-free grammar is regular, this procedure terminates. Unlike all other existing decision procedures for regular grammar logics in the literature, our procedure does not assume that a finite state automaton encoding the axioms is given.

研究动机与目标

• 使用嵌套序列演算构建含逆关系的语法逻辑的证明论框架。
• 通过消除复杂的结构规则，解决显示演算在证明搜索中的局限性。
• 基于深层推理与传播规则，设计一种用于上下文无关语法逻辑的半决策程序。
• 证明该程序在正规语法逻辑下的终止性与正确性，即使未提供显式的有限状态自动机。
• 通过结构规则的可容许性与传播规则，建立嵌套序列演算与标记演算之间的联系。

提出的方法

• 在浅层嵌套序列演算中形式化含逆关系的语法逻辑，将公理内化为结构规则。
• 使用类似于显示逻辑中的程序，证明语法切消去。
• 对于上下文无关语法，用深层推理与传播规则替代结构规则。
• 基于迭代加深与S-稳定序列的饱和，提出一种半决策程序。
• 通过半规则系统上的闭包操作，模拟FSA行为，并限制稳定序列的大小。
• 通过建立FSA-稳定序列与S-稳定、S-传播序列之间的对应关系，确保正规语法下的终止性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具备语法切消去的嵌套序列演算中形式化含逆关系的语法逻辑？
• RQ2 能否通过深层推理，从嵌套序列演算中消除上下文无关语法逻辑的结构规则？
• RQ3 能否基于嵌套序列与深层推理，为上下文无关语法逻辑设计一种半决策程序？
• RQ4 当未提供有限状态自动机时，该程序在正规语法逻辑下是否可终止？
• RQ5 嵌套序列演算中的结构规则与标记演算中的框架规则之间存在何种关系？

主要发现

• 所有含或不含逆关系的语法逻辑均可在具有结构规则的嵌套序列演算中形式化，且语法切消去成立。
• 对于上下文无关语法，结构规则可被深层推理与传播规则替代，从而支持半决策程序。
• 该半决策程序对上下文无关语法逻辑是正确的：当且仅当公式可证明时，程序返回⊤。
• 对于正规语法逻辑，由于S-稳定序列的大小受到限制，该程序可终止，即使未显式提供FSA。
• 该程序是正规语法逻辑的决策程序，且无需将语法编码为有限状态自动机。
• 通过框架规则的可容许性与传播规则，进一步加强了嵌套序列演算与标记演算之间的联系。