[论文解读] Graph complexes and the symplectic character of the Torelli group

Stavros Garoufalidis, Ezra Getzler|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文利用图上同调并假设Koszul性，计算了Torelli群的下中央列的辛分解，从而推导出其分次李代数的结构。此外，通过应用Mumford猜想（由Madsen-Weiss证明），确定了映射类群在辛表示系数下的上同调的Poincaré多项式，给出了直到第13度的显式计算结果。

ABSTRACT

The mapping class group of a closed surface of genus $g$ is an extension of the Torelli group by the symplectic group. This leads to two natural problems: (a) compute (stably) the symplectic decomposition of the lower central series of the Torelli group and (b) compute (stably) the Poincaré polynomial of the cohomology of the mapping group with coefficients in a symplectic representation $V$. Using ideas from graph cohomology, we give an effective computation of the symplectic decomposition of the quadratic dual of the lower central series of the Torelli group, and assuming the later is Kozsul, it provides a solution to the first problem. This, together with Mumford's conjecture, proven by Madsen-Weiss, provides a solution to the second problem. Finally, we present samples of computations, up to degree 13.

研究动机与目标

• 计算映射类群表示理论中的核心问题：Torelli群下中央列的辛分解。
• 在稳定范围内，确定映射类群在辛表示系数下的上同调的Poincaré多项式。
• 建立图上同调与Torelli李代数辛表示理论之间的联系。
• 提供Torelli李代数辛特征在直到第13度的显式计算结果。
• 为利用λ-环和plethysm等代数结构理解映射类群的稳定上同调，奠定基础工具。

提出的方法

• 利用图上同调分析Torelli李代数的二次对偶，从而有效计算辛分解。
• 应用λ-环和plethysm理论处理表示环中的对称函数与对称幂运算。
• 使用Frobenius特征映射在对称函数与不可约辛表示之间进行转换。
• 假设Torelli李代数的Koszul性，从其二次对偶推导出原代数的辛分解。
• 利用Mumford猜想（由Madsen-Weiss证明）计算映射类群在辛系数下的上同调的Poincaré多项式。
• 通过对称函数结构与按至多$3n$个部分的分拆索引的Schur函数，执行显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定范围内，Torelli群下中央列的辛分解是什么？
• RQ2 如何利用图上同调计算Torelli李代数二次对偶的辛特征？
• RQ3 在何种条件下，Torelli李代数的Koszul性可推出其自身辛分解？
• RQ4 映射类群在辛表示系数下的上同调的Poincaré多项式是什么？
• RQ5 λ-环与plethysm理论如何应用于计算映射类群的稳定上同调不变量？

主要发现

• 通过图上同调与对称函数理论，有效计算了Torelli李代数二次对偶的辛分解。
• 在假设Koszul性的前提下，从其二次对偶得到了Torelli李代数本身的辛分解。
• 结合图上同调与Mumford猜想，计算了映射类群在辛表示系数下的上同调的Poincaré多项式。
• 提供了Torelli李代数辛特征在直到第13度的显式计算结果，其中第13度涉及177,970个分拆。
• 结果通过λ-环中的Frobenius特征映射与plethysm推导得出，验证可归约为通用λ-环$Λ$。
• 本文提供了一套计算框架，早于并补充了后续如Church-Farb的表示稳定性理论的发展，结果已在Brandeis与Georgia Tech通过计算验证。