[论文解读] Graph Representations and Topology of Real and Angle Valued Maps

Dan Burghelea, Stefan Haller|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入图表示和拓扑不变量——条形码与若尔当代数块，用于实值与角度值的有限映射，证明了相邻维数中闭条形码与开条形码之和以及单值性（若尔当代数块）的同伦不变性。通过临界值与持久性不变量重新诠释莫尔斯-诺维科夫理论，提供了一个比经典基于梯度的途径更广泛的框架。

ABSTRACT

In this paper we review the definition of the invariants "bar codes" and "Jordan cells" of real and angle valued tame maps as proposed in Burghelea and Dey and Carlsson et al and prove the homotopy invariance of the sum # B^c_r +#B^o_{r-1}$ and of the Jordan cells. Here B^c_r resp. B^o_r denote the sets of closed resp. open bar codes in dimension r and # denotes cardinality. In addition we provide calculation of some familiar topological invariants in terms of bar codes and Jordan cells. The presentation provides a different perspective on Morse-Novikov theory based on critical values, bar codes and Jordan cells rather than on critical points instantons and closed trajectories of a gradient of a real or angle valued map.

研究动机与目标

• 通过条形码与若尔当代数块作为不变量，建立实值与角度值映射的新拓扑框架。
• 证明和 $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r} + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}$ 以及若尔当代数块集合是配对 $(X, \xi_f)$ 的同伦不变量，其中 $\xi_f \in H^1(X; \mathbb{Z})$。
• 基于临界值、条形码与单值性，而非临界点与梯度轨迹，重新表述莫尔斯-诺维科夫理论。
• 将持久性理论不变量推广至具有紧致ANR纤维的连续映射，超越有限映射的限制。
• 提供一种基于图表示的初等变换的条形码与若尔当代数块的计算方法。

提出的方法

• 将条形码定义为实直线上形如 $[a,b]$、$(a,b)$ 或混合型 $[a,b)$、$(a,b]$ 的区间，表示有限映射纤维中同调类的持久性。
• 将若尔当代数块定义为域 $\kappa$ 上有限维向量空间上的不可约线性自同态块，用于捕捉角度值映射中的单值性。
• 使用图表示编码水平集的结构及其之间的过渡映射，通过初等变换实现不变量的计算。
• 应用与有限映射相关的典范长正合列，将子水平集的同调与条形码及若尔当代数块联系起来。
• 利用初等变换 $T_i(j)$ 逐步简化表示，消除条形码，同时追踪过程中不变量的变化。
• 通过证明在保持上同调类 $\xi_f$ 的同伦等价下，数量 $N_r(f) = \sharp\mathcal{B}^{c}_{r}(f) + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}(f)$ 与单值性 $(V_r(f), T_r(f))$ 保持不变，从而证明同伦不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为实值与角度值的有限映射定义条形码与若尔当代数块作为不变量？
• RQ2 和 $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r} + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}$ 以及若尔当代数块集合的同伦不变性状态如何？
• RQ3 能否基于临界值与持久性不变量，而非临界点与梯度轨迹，重新诠释莫尔斯-诺维科夫理论？
• RQ4 条形码与若尔当代数块与贝蒂数与同调群等经典拓扑不变量有何关联？
• RQ5 该框架能否推广至具有紧致ANR纤维的连续映射，而不仅限于有限映射？

主要发现

• 和 $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r}(f) + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}(f)$ 是配对 $(X, \xi_f)$ 的同伦不变量，其中 $\xi_f \in H^1(X; \mathbb{Z})$ 是映射 $f$ 的上同调类。
• 若尔当代数块集合 $\mathcal{J}_r(f)$ 同样是配对 $(X, \xi_f)$ 的同伦不变量，且单值性 $(V_r(f), T_r(f))$ 在同伦等价下保持不变。
• 在第7节的示例中，条形码包括 $[2,3]$、$(4,5)$ 以及 $(\theta_6, \theta_1 + 2\pi]$，而唯一的若尔当代数块是维度1中的 $(2,2)$。
• 维度1中的单值性被识别为由映射 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 定义的线性关系的正规部分，从而得出若尔当代数块 $(2,2)$。
• 初等变换 $T_i(j)$ 允许将图表示分解为不可约分量，从而系统性地消除条形码并提取不变量。
• 在维度0中，唯一的不变量是若尔当代数块 $\rho^{II}(1;1)$，反映了该维度中所有纤维的连通性。