[论文解读] Graphic Lattices and Matrix Lattices Of Topological Coding

Bing Yao|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 29被引用 16

一句话总结

本文基于图论与拓扑编码，提出图格与矩阵格，构建对经典与量子攻击均具抗性的密码系统。通过利用叶重合与叶分裂等新型操作，结合全着色与图标记，作者建立了图格、传统格与Topcode-矩阵之间的联系，展示了其在安全网络加密与拓扑认证中的潜力。

ABSTRACT

Lattice-based Cryptography is considered to have the characteristics of classical computers and quantum attack resistance. We will design various graphic lattices and matrix lattices based on knowledge of graph theory and topological coding, since many problems of graph theory can be expressed or illustrated by (colored) star-graphic lattices. A new pair of the leaf-splitting operation and the leaf-coinciding operation will be introduced, and we combine graph colorings and graph labellings to design particular proper total colorings as tools to build up various graphic lattices, graph homomorphism lattice, graphic group lattices and Topcode-matrix lattices. Graphic group lattices and (directed) Topcode-matrix lattices enable us to build up connections between traditional lattices and graphic lattices. We present mathematical problems encountered in researching graphic lattices, some problems are: Tree topological authentication, Decompose graphs into Hanzi-graphs, Number String Decomposition Problem, $(p,s)$-gracefully total numbers.

研究动机与目标

• 利用图论与拓扑编码，构建图格与矩阵格作为后量子密码学的新结构。
• 应对构建对经典与量子计算攻击均具抗性的密码系统的挑战。
• 通过拓扑向量与代数运算，建立传统格与图格之间的联系。
• 探索图格在网络加密与拓扑认证中的应用，特别是通过图同态与群格实现。
• 研究底层问题（如图同构与数串分解）的NP难性质，作为密码安全性的基础。

提出的方法

• 引入一对新型图操作：叶重合与叶分裂，应用于着色与非着色图，以生成图格。
• 采用特定的正常全着色与图标记（如优美标记、边-幻标记与愉悦标记）作为构建图格的工具。
• 从基于图的数串定义Topcode-矩阵，并在实值Topcode-矩阵上建立代数运算，用于编码与解码。
• 利用线性无关的着色图基构造图群格与匹配图群，实现对拓扑结构的代数操作。
• 构建图同态格与动态图格，以建模结构变换与网络级加密。
• 通过拓扑向量表示与Topcode-矩阵格中的同态性质，在传统格与图格之间建立桥梁。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过图操作与全着色系统性地构建图格？
• RQ2 图标记（如优美标记、边-幻标记）在构建稳定且安全的图格中起什么作用？
• RQ3 Topcode-矩阵格如何在密码系统中实现同态加密与拓扑编码？
• RQ4 图格与传统格在代数与拓扑结构方面存在何种关系？
• RQ5 数串分解问题能否作为后量子密码系统的困难问题基础？

主要发现

• 通过叶重合与叶分裂操作构建的图格表现出结构复杂性，支持拓扑认证与网络加密。
• 使用$(p,s)$-优美全着色可生成唯一可识别的图格，适用于认证目的。
• Topcode-矩阵格被证明支持同态运算，且可由数串导出，构成安全数据编码的基础。
• 数串分解问题被识别为NP难且不可逆，是拓扑编码中密码安全性的有力候选基础。
• 利用线性无关的着色基构建了图群格与匹配图群，实现代数操作并增强网络结构的安全性。
• 图同态格与动态图格的整合，使得在密码保护下可建模演化的网络拓扑。