[论文解读] Graphical small cancellation groups with the Haagerup property

Goulnara Arzhantseva, Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 17

一句话总结

该论文证明了满足间隙墙条件的无限图小余因子表示的有限生成群具有Haagerup性质。通过证明$C^{\text{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-复形满足线性分离性质，作者表明此类群在墙空间上具有适当的等距作用，从而推出其粗嵌入到希尔伯特空间中，并验证了强Baum-Connes猜想。

ABSTRACT

We prove the Haagerup property (= Gromov's a-T-menability) for finitely generated groups defined by infinite presentations satisfying the graphical C'(lambda)-small cancellation condition with respect to graphs endowed with a compatible wall structure. We deduce that these groups are coarsely embeddable into a Hilbert space and that the strong Baum-Connes conjecture and, hence, the Baum-Connes conjecture with arbitrary coefficients hold for them. As the main step we show that C'(lambda)-complexes satisfy the linear separation property. Our result provides many new examples and a general technique to show the Haagerup property for graphical small cancellation groups.

研究动机与目标

• 建立一类由无限表示定义的图示群的Haagerup性质。
• 识别图组合结构与小余因子标记之间的一种自然相容性条件，以保证Haagerup性质。
• 为图小余因子情境下（特别是无限表示群）证明Haagerup性质提供一种通用方法。
• 解决一个开放问题：构造一个粗嵌入到希尔伯特空间但非粗阿梅兰群的有限生成群。

提出的方法

• 引入间隙墙条件作为图的墙结构与$C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-小余因子标记之间的一种相容性要求。
• 证明满足间隙墙条件的复形表现出线性分离性质，即路径度量与墙伪度量是双利普希茨等价的。
• 利用线性分离性质推导出在墙空间上的适当等距作用，从而推出Haagerup性质。
• 构造图表示的显式例子，说明$β$-条件和$δ$-条件在避免墙伪度量中病态行为时的必要性。
• 通过展示在无限表示中$δ$-条件的失效，分析长测地线虽路径距离大但被少数墙分离的现象。
• 将间隙性条件与现有概念（如$π/2$-强分离性质）进行比较，表明二者在逻辑上独立，但均可用于控制墙的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有限生成群，其粗嵌入到希尔伯特空间但不是粗阿梅兰群？
• RQ2 图标记的何种组合条件可确保所得到的图小余因子群具有Haagerup性质？
• RQ3 在适当的墙结构下，能否在$C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-复形上建立线性分离性质？
• RQ4 $β$-条件与$δ$-条件在无限图表示中如何相互作用，以影响墙伪度量？
• RQ5 在墙空间上的适当作用背景下，间隙性条件在多大程度上可替代或推广$π/2$-强分离性质？

主要发现

• 主要结果表明，任何由满足间隙墙条件的图表示定义的有限生成群，均在墙空间上具有适当作用，因此具有Haagerup性质。
• $C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-复形若满足间隙墙条件，则满足线性分离性质，即路径度量与墙伪度量是双利普希茨等价的。
• 由无限图表示定义的群$G$，其关系为$(4k+2)$-边形，墙如所述，满足$d(v_1,v_{2k+2}) = 2k+1$但$d_W(v_1,v_{2k+2}) = 1$，表明若$δ$-条件不成立，墙伪度量可能不适当。
• 在由$k$个关系$r$的副本构成的复形$X_k$中，当$k=3$时，墙伪度量$d_W(p,q) = 8$，而路径距离$d(p,q) = 24$，表明在无限极限下适当性失效。
• 间隙性条件被证明是必要的，以防止墙在长测地线上耗尽边，如构造中树边数量相对于直径呈指数增长所示。
• 作者证明$π/2$-强分离性质与间隙性条件在逻辑上独立，后者更适合其对墙空间的定量方法。