[论文解读] Greedy Algorithms for Fair Division of Mixed Manna

Martin Aleksandrov, Toby Walsh|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文研究了混合物品（具有正、零或负效用的物品）的公平分配问题，采用贪心算法实现公平性（EF1、EFX、EFX3）与效率（PO）。研究证明，最大化纳什福利并不能保证在混合物品中实现EF1，但在相同或三级效用下，存在多项式时间算法实现EFX与PO分配，并对纳什福利、成本纳什福利与平等福利提供近似保证。

ABSTRACT

We consider a multi-agent model for fair division of mixed manna (i.e. items for which agents can have positive, zero or negative utilities), in which agents have additive utilities for bundles of items. For this model, we give several general impossibility results and special possibility results for three common fairness concepts (i.e. EF1, EFX, EFX3) and one popular efficiency concept (i.e. PO). We also study how these interact with common welfare objectives such as the Nash, disutility Nash and egalitarian welfares. For example, we show that maximizing the Nash welfare with mixed manna (or minimizing the disutility Nash welfare) does not ensure an EF1 allocation whereas with goods and the Nash welfare it does. We also prove that an EFX3 allocation may not exist even with identical utilities. By comparison, with tertiary utilities, EFX and PO allocations, or EFX3 and PO allocations always exist. Also, with identical utilities, EFX and PO allocations always exist. For these cases, we give polynomial-time algorithms, returning such allocations and approximating further the Nash, disutility Nash and egalitarian welfares in special cases.

研究动机与目标

• 研究在可加效用下，混合物品分配中公平性概念（EF1、EFX、EFX3）与效率（PO）之间的相互作用。
• 分析常见福利目标——纳什福利、成本纳什福利与平等福利——在混合物品设置中与公平性和效率的交互关系。
• 识别在何种条件下存在EFX与PO分配，并可高效计算，特别是针对相同或三级效用的情况。
• 在精确优化不可行的情况下，为EFX与PO分配中的福利目标提供近似保证。
• 引入并研究新的公平性概念EFX3，该概念分别在混合物品、纯劣品与所有物品上强制实现EFX。

提出的方法

• 提出一种新公平性概念EFX3，定义为：在所有物品上、仅在混合物品上、仅在纯劣品上均满足EFX。
• 分析在不同效用结构（相同、三级、一般）下，EFX、EFX3与PO分配的存在性及计算复杂度。
• 为相同或三级效用下的EFX与PO分配开发多项式时间贪心算法。
• 建立EFX与PO分配中纳什福利、成本纳什福利与平等福利的近似界。
• 通过示例与引理展示近似比的紧致性，例如在EFX分配中，成本纳什福利的近似比为√(8/9) ≈ 0.9428。
• 基于先前工作的已知结果（如Plaut和Roughgarden关于字典序最小化，Caragiannis等人关于纳什福利）推导比较性近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合物品设置中，最大化纳什福利是否能保证EF1？
• RQ2 即使在相同效用下，EFX3分配是否可能存在？若否，其存在的条件是什么？
• RQ3 是否存在多项式时间算法，在特定效用结构（如相同或三级效用）下计算EFX与PO分配？
• RQ4 EFX与PO分配在多大程度上近似纳什福利、成本纳什福利与平等福利目标？
• RQ5 在相同劣品设置下，EFX分配相对于最优成本纳什福利的近似比是多少？

主要发现

• 在混合物品中，最大化纳什福利并不能保证实现EF1，即使所有物品均为正效用物品。
• 最小化成本纳什福利也不能确保EF1，因为将所有劣品分配给单一代理人可最小化该目标，但会违反EF1。
• 即使在相同效用下，EFX3分配也可能不存在，揭示了该概念的根本局限性。
• 在三级效用下，存在多项式时间算法可计算EFX与PO分配，以及EFX3与PO分配。
• 在相同效用下，存在线性时间算法可计算EFX与PO分配，且此类分配对成本纳什福利的近似因子可达√(8/9) ≈ 0.9428。
• 在EFX分配中，成本纳什福利的近似因子√(8/9)几乎为紧致，如示例6所示（两名代理人与m+2个劣品）