[论文解读] Grid Recognition: Classical and Parameterized Computational Perspectives

Siddharth Gupta, Guy Sa'ar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本论文首次对网格识别问题进行了参数化复杂性分析，证明了当以 $k + \text{mcc}$（其中 $k$ 为高度，$\text{mcc}$ 为最大连通分量大小）或 $\text{td} + k$（树深度加高度）为参数时，网格嵌入问题为固定参数可满足（FPT）。此外，论文引入了一个新参数 $a_G$，用于衡量图距离与几何距离之间的差异，展示了在树和 $k + a_G$ 参数化下为 FPT 的结果，同时证明了当 $k = 3$ 时，路径宽为 2 的图上该问题为 NP-难。这些结果意味着在条带高度加矩形尺寸的参数化下，条带装箱问题也存在新的 FPT 算法。

ABSTRACT

Grid graphs, and, more generally, k×r grid graphs, form one of the most basic classes of geometric graphs. Over the past few decades, a large body of works studied the (in)tractability of various computational problems on grid graphs, which often yield substantially faster algorithms than general graphs. Unfortunately, the recognition of a grid graph (given a graph G, decide whether it can be embedded into a grid graph) is particularly hard - it was shown to be NP-hard even on trees of pathwidth 3 already in 1987. Yet, in this paper, we provide several positive results in this regard in the framework of parameterized complexity (additionally, we present new and complementary hardness results). Specifically, our contribution is threefold. First, we show that the problem is fixed-parameter tractable (FPT) parameterized by k+mcc where mcc is the maximum size of a connected component of G. This also implies that the problem is FPT parameterized by td+k where td is the treedepth of G, as td ≤ mcc (to be compared with the hardness for pathwidth 2 where k = 3). (We note that when k and r are unrestricted, the problem is trivially FPT parameterized by td.) Further, we derive as a corollary that strip packing is FPT with respect to the height of the strip plus the maximum of the dimensions of the packed rectangles, which was previously only known to be in XP. Second, we present a new parameterization, denoted a_G, relating graph distance to geometric distance, which may be of independent interest. We show that the problem is para-NP-hard parameterized by a_G, but FPT parameterized by a_G on trees, as well as FPT parameterized by k+a_G. Third, we show that the recognition of k× r grid graphs is NP-hard on graphs of pathwidth 2 where k = 3. Moreover, when k and r are unrestricted, we show that the problem is NP-hard on trees of pathwidth 2, but trivially solvable in polynomial time on graphs of pathwidth 1.

研究动机与目标

• 解决在参数化复杂性框架下长期悬而未决的网格图识别问题。
• 识别网格嵌入问题的可 tractable 参数化方式。
• 通过利用网格识别结果，建立条带装箱问题的新 FPT 算法。
• 引入并分析一个新参数 $a_G$，用于捕捉网格嵌入中图距离与几何距离之间的差异。
• 解决在低路径宽图上（特别是 $k = 3$ 且路径宽为 2 时）网格识别的复杂性。

提出的方法

• 通过在树分解上使用动态规划以及分连通分量嵌入策略，证明当以 $k + \text{mcc}$ 为参数时，网格嵌入问题为 FPT。
• 通过利用树深度结构并递归嵌入子树，证明当以 $\text{td} + k$ 为参数时，问题为 FPT。
• 引入参数 $a_G$，其定义为在潜在网格嵌入中几何相邻的顶点在图中距离的最大值。
• 通过在路径和树上使用归纳嵌入论证，证明在树和 $k + a_G$ 参数化下，$a_G$ 的 FPT 结果。
• 通过从 3-SAT 构造规整的部件结构（包括变量路径和子句路径），构建归约，证明当 $k = 3$ 时，路径宽为 2 的图上网格嵌入问题为 NP-难。
• 推导出一个推论：条带装箱问题在条带高度加最大矩形尺寸的参数化下为 FPT，优于此前已知的 XP 算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以 $k + \text{mcc}$ 或 $\text{td} + k$ 等自然结构参数化时，网格嵌入问题是否为 FPT？
• RQ2 一个衡量图距离与几何距离不匹配的新参数 $a_G$，是否能为网格识别带来 FPT 算法？
• RQ3 在路径宽有界的图上，特别是当 $k = 3$ 时，网格识别的复杂性如何？
• RQ4 新参数 $a_G$ 是否在树上或与 $k$ 组合时，能导出可 tractable 的算法？
• RQ5 能否利用网格识别的结果，改进相关问题（如条带装箱）的参数化算法？

主要发现

• 当以 $k + \text{mcc}$ 参数化时，网格嵌入问题为 FPT，其中 $\text{mcc}$ 为输入图中连通分量的最大大小。
• 当以 $\text{td} + k$ 参数化时，问题为 FPT，其中 $\text{td}$ 为图的树深度，解决了在路径宽为 2 情况下长期悬而未决的开放问题。
• 当以 $a_G$ 参数化时，问题为 para-NP-难，但当限制在树上或以 $k + a_G$ 参数化时，问题变为 FPT，表明存在一个尖锐的复杂性阈值。
• 当 $k = 3$ 时，路径宽为 2 的图上，网格嵌入问题为 NP-难，表明即使在非常受限的图类上，该问题依然困难。
• 条带装箱问题在条带高度加最大矩形尺寸的参数化下为 FPT，相比此前已知的 XP 算法有显著改进。
• 通过在新参数化框架下将条带装箱问题归约为网格识别问题，本研究建立了条带装箱问题的新 FPT 算法。