[论文解读] Reconfiguration of Colorable Sets in Classes of Perfect Graphs

Takehiro Ito, Yota Otachi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文研究了完美图中 c-可图集的重配置问题，表明当 c 固定时，该问题在区间图上为线性时间可解，在分裂图上为多项式时间可解，而在共比较图和弦图上即使 c 固定仍为 PSPACE-完全。关键贡献在于对区间图中最短重配置序列的组合表征，从而实现了 TAR 和 TJ 规则下的高效算法，并揭示了不同图类之间的复杂性边界。

ABSTRACT

A set of vertices in a graph is c-colorable if the subgraph induced by the set has a proper c-coloring. In this paper, we study the problem of finding a step-by-step transformation (reconfiguration) between two c-colorable sets in the same graph. This problem generalizes the well-studied Independent Set Reconfiguration problem. As the first step toward a systematic understanding of the complexity of this general problem, we study the problem on classes of perfect graphs. We first focus on interval graphs and give a combinatorial characterization of the distance between two c-colorable sets. This gives a linear-time algorithm for finding an actual shortest reconfiguration sequence for interval graphs. Since interval graphs are exactly the graphs that are simultaneously chordal and co-comparability, we then complement the positive result by showing that even deciding reachability is PSPACE-complete for chordal graphs and for co-comparability graphs. The hardness for chordal graphs holds even for split graphs. We also consider the case where c is a fixed constant and show that in such a case the reachability problem is polynomial-time solvable for split graphs but still PSPACE-complete for co-comparability graphs. The complexity of this case for chordal graphs remains unsettled. As by-products, our positive results give the first polynomial-time solvable cases (split graphs and interval graphs) for Feedback Vertex Set Reconfiguration.

研究动机与目标

• 理解在完美图各类中重配置 c-可图集的计算复杂性，推广独立集重配置问题。
• 对区间图中 c-可图集的重配置序列结构进行表征，以实现高效计算。
• 识别在不同图类中该问题可 tractable 与不可 tractable 案例之间的边界，尤其在 c 固定与可变时。
• 通过在区间图与分裂图上的正面结果，首次建立反馈顶点集重配置的多项式时间可解情况。
• 澄清当 c 为固定常数时，弦图中该问题的复杂性状态，该问题仍为开放问题。

提出的方法

• 通过顶点级结构分析与团分解，对区间图中两个 c-可图集之间的距离进行组合表征。
• 构建从一般图中最短 s–t 路径重配置到共比较图中 c-可图集重配置的归约，保持 TAR、TJ 和 TS 规则下的解结构。
• 通过从一般图中路径重配置问题的归约，证明共比较图上该问题为 PSPACE-完全，采用将路径嵌入团与辅助顶点的构造方法。
• 通过利用团与独立集的结构并限制可能配置数，证明当 c 固定时，分裂图上的问题为多项式时间可解。
• 利用区间图恰好是弦图与共比较图的交集这一事实，论证正面结果的紧致性，无法进一步扩展。
• 将结果应用于反馈顶点集重配置问题，证明在 TAR 与 TJ 规则下，区间图与分裂图上的问题为多项式时间可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在区间图中，TAR 与 TJ 规则下重配置 c-可图集的计算复杂性为何？
• RQ2 当 c 固定时与作为输入时，该问题的复杂性在分裂图与弦图中如何变化？
• RQ3 即使 c 固定，该问题在共比较图与弦图上是否仍为 PSPACE-完全？
• RQ4 在区间图中，c-可图集的最短重配置序列问题的复杂性为何？
• RQ5 区间图与分裂图上的正面结果能否推广至 TS 规则，尤其当 c ≥ 2 时？

主要发现

• 在 TAR 与 TJ 规则下，区间图中重配置 c-可图集的问题可在线性时间内求解，且最短重配置序列具有组合表征。
• 当 c 为固定常数时，分裂图上的问题为多项式时间可解，但当 c 作为输入时，问题变为 PSPACE-完全。
• 即使 c 固定，共比较图上该问题在所有三种规则（TAR、TJ、TS）下仍为 PSPACE-完全。
• 即使在分裂图中，弦图上该问题在 TAR 与 TJ 规则下仍为 PSPACE-完全，且当 c = 2 时弦图中的情况仍为开放问题。
• 当 c ≥ 2 固定时，完美图上该问题为 NP-完全，完整刻画了底层搜索问题的复杂性图谱。
• 在 TAR 与 TJ 规则下，反馈顶点集重配置问题在区间图与分裂图上为多项式时间可解，这是该图类的首次此类多项式时间结果。