[论文解读] Gromov--Hausdorff Distance to Simplexes

Д. С. Григорьев, Alexander Ivanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过分析度量空间相对于单形（所有非零距离相等的度量空间）的几何结构，将Gromov--Hausdorff距离的理论推广至有界度量空间。利用划分几何，推导出这些距离的显式公式，将先前针对紧致空间的结果扩展至一般有界空间，并简化了证明，有限情形下的关键结果为最小生成树的长度。

ABSTRACT

Geometric characteristics of metric spaces that appear in formulas of the Gromov--Hausdorff distances from these spaces to so-called simplexes, i.e., to the metric spaces, all whose non-zero distances are the same are studied. The corresponding calculations essentially use geometry of partitions of these spaces. In the finite case, it gives the lengths of minimal spanning trees. A similar theory for compact metric spaces was worked out previously. In the present paper we generalize those results to any bounded metric space, and also, we simplify some proofs.

研究动机与目标

• 将现有的Gromov--Hausdorff距离理论从紧致空间扩展至一般有界度量空间。
• 表征影响度量空间到单形的Gromov--Hausdorff距离的几何特征。
• 通过基于划分的几何方法，简化并优化先前在紧致情形下的结果的证明。
• 建立有界度量空间中Gromov--Hausdorff距离与最小生成树长度之间的联系。

提出的方法

• 分析依赖于度量空间划分的几何性质，以计算其到单形的距离。
• 该方法以等距度量空间（即单形）的结构作为Gromov--Hausdorff框架中的参考点。
• 通过将定义域扩展至所有有界度量空间，推广了先前针对紧致空间的结果。
• 该方法利用组合与度量划分技术，推导出距离公式。
• 关键结果通过距离分布与划分细化的几何推理得出。
• 在有限情形下，通过连接所有点的最短连通网络的总长度，将结果与最小生成树关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从几何角度表征有界度量空间到单形的Gromov--Hausdorff距离？
• RQ2 度量空间的划分在计算其到单形的距离中起到何种作用？
• RQ3 紧致度量空间的理论如何推广至一般有界度量空间？
• RQ4 有界度量空间到单形的Gromov--Hausdorff距离与最小生成树之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过划分几何简化先前结果的证明？

主要发现

• 有限度量空间到单形的Gromov--Hausdorff距离等于其最小生成树的总长度。
• 该理论成功地从紧致空间推广至一般有界度量空间。
• 空间的几何划分提供了计算到单形距离的结构基础。
• 通过基于划分的论证，简化了先前结果的证明。
• 到单形的距离由度量空间的内在划分几何结构及其等距性质决定。
• 该框架揭示了有限情形下生成树长度与Gromov--Hausdorff距离之间的直接联系。