[论文解读] Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with bisectional curvature lower bound I

Gang Liu|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文证明了具有下界双全纯曲率且体积一致正的完备凯勒流形序列的 pointed Gromov-Hausdorff 极限同胚于一个正规复解析空间。极限上的复结构由全纯函数列的极限诱导，从而解决了在曲率有界下复结构退化过程中的一个关键问题。

ABSTRACT

Given a sequence of complete(compact or noncompact) Kähler manifolds $M^n_i$ with bisectional curvature lower bound and noncollapsed volume, we prove that the pointed Gromov-Hausdorff limit is homeomorphic to a normal complex analytic space. The complex analytic structure is the natural "limit" of complex structure of $M_i$.

研究动机与目标

• 理解在双全纯曲率有下界条件下凯勒流形 Gromov-Hausdorff 极限的结构。
• 确定极限空间是否在存在度量奇点的情况下仍继承复解析结构。
• 解决极限中度量奇点（余维数 2）与复解析奇点（余维数 ≥4）之间的差异。
• 证明极限空间是局部可缩的，且同胚于一个正规复解析簇。
• 为研究非紧凯勒流形的单值化猜想（在正双全纯曲率条件下）奠定基础。

提出的方法

• 将 Cheeger-Colding-Gromov 收敛理论适配于具有双全纯曲率下界的凯勒几何。
• 通过复 Hessian Bochner 公式，将 Ni-Tam 的热流最大值原理推广至负曲率情形。
• 利用局部化和 Hörmander 的 L² 估计，在特殊点附近构造良好的全纯坐标。
• 证明当极限的切锥分裂出 ℝ²ⁿ⁻² 时，此类度量奇点在复解析意义下是正则的。
• 利用负曲率凯勒流形的三圆定理，并借鉴 [14] 中关于全纯截面的技术。
• 通过全纯函数的一致收敛性及局部环的正规化，在极限空间上建立结构层。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有双全纯曲率下界的凯勒流形 Gromov-Hausdorff 极限能否赋予复解析结构？
• RQ2 在双全纯曲率有下界时，极限中度量奇点与复解析奇点之间有何关系？
• RQ3 在这些曲率与体积条件下，极限空间是否局部可缩？
• RQ4 能否利用逼近流形上的全纯函数在极限上定义一个行为良好的复结构？
• RQ5 极限空间上的复解析结构在正则点处是否与度量结构一致？

主要发现

• 具有双全纯曲率 ≥−1 且体积一致正的完备凯勒流形序列的 pointed Gromov-Hausdorff 极限同胚于一个正规复解析空间。
• 极限上的复解析结构由逼近流形上小球内全纯函数列的极限诱导。
• 当切锥分裂出 ℝ²ⁿ⁻² 时，此类度量奇点在复解析意义下是正则的，从而解决了余维数差异问题。
• 极限空间是局部可缩的，将 Perelman 的结果推广至具有双全纯曲率下界的凯勒情形。
• 对于具有正双全纯曲率与最大体积增长的完备非紧凯勒曲面，该流形是单连通的。
• 极限空间上的结构层定义良好且为正规的，局部全纯坐标由全纯函数列的极限诱导。