[论文解读] Regularity of Einstein Manifolds and the Codimension 4 Conjecture

Jeff Cheeger, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文通过证明在有界里奇曲率的黎曼流形的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限中，其奇点集的 Hausdorff 维数至多为 n−4，从而解决了余维数 4 猜想。作者结合定量分层与新的 $C^2$-正则性估计及 $C^1$-微分同胚控制，建立了所有 $q<2$ 的先验 $L^q$-曲率界，并在四维情形下证明了 $L^2$-曲率估计与有限微分同胚型定理，条件为里奇曲率有界且体积非坍缩。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the regularity of noncollapsed Riemannian manifolds $(M^n,g)$ with bounded Ricci curvature, as well as their Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_j,d_j)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X,d)$, where $d_j$ denotes the Riemannian distance. Our main result is a solution to the codimension $4$ conjecture, namely that $X$ is smooth away from a closed subset of codimension $4$. We combine this result with the ideas of quantitative stratification to prove a priori $L^q$ estimates on the full curvature $|Rm|$ for all $q&lt;2$. In the case of Einstein manifolds, we improve this to estimates on the regularity scale. We apply this to prove a conjecture of Anderson that the collection of $4$-manifolds $(M^4,g)$ with $|Ric_{M^4}|\leq 3$, $Vol(M)&gt;v&gt;0$, and $diam(M)\leq D$ contains at most a finite number of diffeomorphism classes. A local version of this is used to show that noncollapsed $4$-manifolds with bounded Ricci curvature have a priori $L^2$ Riemannian curvature estimates.

研究动机与目标

• 解决关于有界里奇曲率的黎曼流形非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限的奇点集的余维数 4 猜想。
• 在这些极限中，建立 Riemann 曲率张量 $|\mathrm{Rm}|$ 的先验 $L^q$-估计，对所有 $q<2$ 成立。
• 证明在有界里奇曲率与体积非坍缩条件下，非坍缩四维流形具有有限微分同胚型。
• 在有界里奇曲率与体积非坍缩条件下，建立四维情形下的 $L^2$-曲率界。
• 通过改进正则性尺度与曲率可积性估计，扩展爱因斯坦流形的正则性理论。

提出的方法

• 利用定量分层将奇点集分解为具有受控维数与测度的层，借助 $C^2$-正则性尺度与 $C^1$-微分同胚控制。
• 证明一个截面定理，以控制正则性尺度的等值集大小，从而实现对奇点集的测度估计。
• 应用 $C^1$-微分同胚控制，在环形区域上构造具有小 $C^1$-范数的调和坐标，确保边界控制的一致性。
• 在四维情形下使用 Chern-Gauss-Bonnet 公式，将 $\int_U |\mathrm{Rm}|^2$ 用欧拉示性数与第二基本形式的有界性表示。
• 结合 $C^1$-微分同胚控制、体积单调性与加倍估计，构造具有受控半径的球的有限覆盖。
• 利用 $C^1$-微分同胚控制，通过在受控区域上积分及利用拓扑不变量，推导出 $L^2$-曲率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界里奇曲率的黎曼流形非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限的奇点集是否具有至少余维数 4？
• RQ2 在有界里奇曲率与体积非坍缩条件下，能否对所有 $q<2$ 建立 Riemann 曲率张量 $|\mathrm{Rm}|$ 的先验 $L^q$-界？
• RQ3 在四维情形下，有界里奇曲率与体积非坍缩的非坍缩流形是否具有独立于流形本身的 $L^2$-曲率界？
• RQ4 在有界里奇曲率、体积与直径的条件下，四维流形的集合是否仅包含有限多个微分同胚型？
• RQ5 在四维情形下，正则性尺度能否以曲率与体积非坍缩为条件实现一致控制？

主要发现

• 任何满足 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ 且 $\mathrm{Vol}(B_1) > \mathrm{v} > 0$ 的黎曼流形非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限的奇点集 $\mathcal{S}$ 的 Hausdorff 维数至多为 $n-4$，从而解决了余维数 4 猜想。
• 对所有 $q<2$，Riemann 曲率张量的 $L^q$-范数满足 $\fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^q \leq C(n,\mathrm{v})$，且对所有此类流形一致成立。
• 在四维情形下，曲率张量的 $L^2$-范数被一致有界：$\fint_{B_1(p)} |\mathrm{Rm}|^2 \leq C(\mathrm{v})$。
• 满足 $|\mathrm{Ric}| \leq 3$、$\mathrm{Vol}(M) > \mathrm{v} > 0$ 且 $\mathrm{diam}(M) \leq D$ 的四维流形集合仅包含有限多个微分同胚型。
• 具有有界里奇曲率与体积非坍缩的非坍缩四维流形在半径处于受控 dyadic 范围的环形区域上具有 $C^1$-微分同胚控制。
• 此类四维流形的极限空间是一个至多有 $c(\mathrm{v})$ 个奇点的黎曼轨道丛，且具有欧几里得体积增长的完备里奇平坦四维流形为 ALE 空间。