[论文解读] Gromov Invariants and Symplectic Maps

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Mar 20, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过李雅普诺夫zeta函数与亚历山大多项式，计算了辛映射柱$X_f$及其纤维和的格罗莫夫不变量，提供了一种区分非凯勒辛流形的计算方法。通过辛技巧构造了奇异椭圆曲面与6维流形，将不变量与纽结的亚历山大多项式联系起来。

ABSTRACT

Given a symplectomorphism f of a symplectic manifold X, one can form the `symplectic mapping cylinder' $X_f = (X imes R imes S^1)/Z$ where the Z action is generated by $(x,s,t)\mapsto (f(x),s+1,t)$. In this paper we compute the Gromov invariants of the manifolds $X_f$ and of fiber sums of the $X_f$ with other symplectic manifolds. This is done by expressing the Gromov invariants in terms of the Lefschetz zeta function of f and, in special cases, in terms of the Alexander polynomials of knots. The result is a large set of interesting non-Kahler symplectic manifolds with computational ways of distinguishing them. In particular, this gives a simple symplectic construction of the `exotic' elliptic surfaces recently discovered by Fintushel and Stern and of related `exotic' symplectic 6-manifolds.

研究动机与目标

• 计算由辛流形$X$上的辛同胚$f$构造的辛映射柱$X_f$的格罗莫夫不变量。
• 将这些不变量扩展至$X_f$与其他辛流形的纤维和。
• 建立一个计算框架，利用$f$的动力不变量来区分非凯勒辛流形。
• 提供芬图谢尔与斯特恩最近发现的奇异椭圆曲面与6维流木的辛构造方法。
• 将格罗莫夫不变量与拓扑不变量（如李雅普诺夫zeta函数与纽结的亚历山大多项式）联系起来。

提出的方法

• 构造辛映射柱$X_f = (X \times \mathbb{R} \times S^1)/\mathbb{Z}$，其中$\mathbb{Z}$作用由$(x,s,t) \mapsto (f(x), s+1, t)$生成。
• 将$X_f$的格罗莫夫不变量表示为辛同胚$f$的李雅普诺夫zeta函数的形式。
• 在特殊情形下，通过纤维化纽结的单值性，将不变量与纽结的亚历山大多项式联系起来。
• 利用纤维和运算构造新的辛流形，并从$X_f$与各加数的不变量计算其格罗莫夫不变量。
• 应用辛拓扑与格罗莫夫-威滕理论中的技术，计算所得流形的不变量。
• 利用映射柱构造保持辛结构且可控制伪全纯曲线的特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算与辛同胚$f$相关的辛映射柱$X_f$的格罗莫夫不变量？
• RQ2 李雅普诺夫zeta函数与$X_f$的格罗莫夫不变量之间存在何种关系？
• RQ3 涉及$X_f$的纤维和的格罗莫夫不变量能否用各加数的不变量表示？
• RQ4 这些不变量在多大程度上能区分非凯勒辛流形？
• RQ5 该框架能否用于构造并识别奇异辛6维流形与椭圆曲面？

主要发现

• 辛映射柱$X_f$的格罗莫夫不变量完全由辛同胚$f$的李雅普诺夫zeta函数决定。
• 在特殊情形下，$X_f$的不变量与$f$动力学产生的纽结的亚历山大多项式相关。
• 该方法提供了一种计算工具，可区分一大类非凯勒辛流形。
• 该构造实现了芬图谢尔与斯特恩发现的奇异椭圆曲面的辛实现。
• $X_f$与其他辛流形的纤维和继承了可计算的格罗莫夫不变量，其计算依赖于各加数的不变量。
• 该方法通过辛同胚的动力不变量，在辛拓扑与纽结理论之间建立了桥梁。